如何将(a, b)表示为下限拓扑(ℝ, 𝒯ₗ)中基元素的并集？

首先明确：下限拓扑$(\mathbb{R}, \mathcal{T}_l)$的基是所有形如[c, d)的半开区间，这是我们构造并集的核心依据。

其实你在证明$(a,b) \in \mathcal{T}_l$时的思路已经铺好了路——直接把每个$x \in (a,b)$对应的基元素[x, b)全部并起来就行，具体表达式为：

(a, b) = ⋃{ [x, b) | x ∈ (a, b) }

咱们来验证这个等式的有效性：

• $(a,b) \subset$ 并集：任取$y \in (a,b)$，显然$y$属于[y, b)，而[y, b)是右边并集里的一员，因此$y$必然在并集中。
• 并集 $\subset (a,b)$：任取$z$属于右边的并集，那么$z$一定落在某个[x, b)里（其中$x \in (a,b)$）。因为$x > a$，所以$z \geq x > a$，同时$z < b$，自然$z \in (a,b)$。

两边互相包含，就证明了这个并集恰好等于开区间$(a,b)$。本质上就是用每个点$x$作为左端点的半开区间[x,b)，把它们逐个拼接起来，刚好覆盖整个$(a,b)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Siddhartha