$\Bbb{R}^2$中四向量凸组合简化为三向量凸组合的证明问题

问题描述 #

已知$u_1,u_2,u_3,u_4$为$\Bbb{R}^{2$中的向量，且$u=\sum_{j=1}}4t_ju_j$，其中$t_i>0$且$\sum_{i=1}^{4t_i=1$。求证：可从$u_j (j=1,2,3,4)$中选取三个向量$v_i (i=1,2,3)$，使得$u=\sum_{j=1}}3s_jv_j$，其中$s_j\geq0$且$\sum_{j=1}^3s_j=1$。

思路补全与证明 #

你已经抓住了核心切入点：$\Bbb{R}^2$是二维空间，四个向量必然线性相关。这里补充一个关键的线性相关构造技巧：

考虑向量组$(u_1,1),(u_2,1),(u_3,1),(u_4,1)$，它们是$\Bbb{R}^{3$中的4个向量，必然线性相关，因此存在不全为0的实数$a_1,a_2,a_3,a_4$，满足$\sum_{j=1}}4a_ju_j=0$且$\sum_{j=1}^4a_j=0$。

基于这个结论，我们可以把其中一个向量用另外三个线性表示，比如设$u_4=a_1u_1+a_2u_2+a_3u_3$，此时结合$\sum a_j=0$可得$a_1+a_2+a_3=1$（因为$a_4=-1$）。

接下来把$u_4$代入$u$的表达式：
$$
u=(t_1+t_4a_1)u_1+(t_2+t_4a_2)u_2+(t_3+t_4a_3)u_3
$$
令$s_i=t_i + t_4a_i$，显然$\sum_{i=1}^3s_i=\sum t_i + t_4\sum a_i=(1-t_4)+t_4\times1=1$，满足和为1的要求。现在只需要证明存在这样的表示，使得所有$s_i\geq0$：

因为$\sum a_j=0$且$a_j$不全为0，所以$a_j$中必然既有正数也有负数（若全非正或全非负，结合和为0只能全为0，矛盾）。我们引入参数$\lambda$，构造：
$$
u=\sum_{j=1}^4(t_j+\lambda a_j)u_j
$$
此时$\sum(t_j+\lambda a_j)=\sum t_j+\lambda\sum a_j=1$，始终成立。我们的目标是找到$\lambda$，让至少一个$t_j+\lambda a_j=0$，且其余项$\geq0$。

取$\lambda=\min\left{-\frac{t_j}{a_j}\mid a_j<0\right}$，由于$t_j>0$、$a_j<0$，这个$\lambda$是正数。此时：

• 对于使得$\lambda=-\frac{t_j}{a_j}$的那个$j$，$t_j+\lambda a_j=0$；
• 对于$a_k>0$的$k$，$\lambda>0$，所以$t_k+\lambda a_k>t_k>0$；
• 对于其他$a_j'<0$的$j'$，$\lambda\leq-\frac{t_{j'}}{a_{j'}}$，即$\lambda a_{j'}\geq -t_{j'}$，因此$t_{j'}+\lambda a_{j'}\geq0$。

这样一来，我们就将$u$表示成了三个向量的非负系数凸组合，正好符合题目的要求。比如如果被抵消的是$u_4$，那对应的$s_1=t_1+\lambda a_1$、$s_2=t_2+\lambda a_2$、$s_3=t_3+\lambda a_3$就都是非负的，完美补全你的思路！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Chinnapparaj R