阶为81的群作用于阶98集合：不动点集阶数形式证明问询

咱们直接从群作用的轨道分解入手来推导：

首先，群 ( P ) 作用在集合 ( \Omega ) 上，根据轨道-稳定子定理，每个轨道的长度都是 ( |P| ) 的因子。因为 ( |P|=81=3^4 )，所以所有轨道的长度只能是 ( 3^t )（( t=0,1,2,3,4 )）：

• 当 ( t=0 ) 时，轨道长度为1，对应的元素就是被整个群 ( P ) 固定的元素，也就是 ( \Omega_0 ) 中的元素，这类轨道的数量正好是 ( |\Omega_0| )。
• 当 ( t≥1 ) 时，轨道长度是3的倍数（3、9、27、81），所有这类轨道的总长度必然是3的整数倍，咱们记这个总长度为 ( 3M )（( M ) 是非负整数，当没有这类轨道时 ( M=0 )）。

接下来，整个集合 ( \Omega ) 的大小等于所有轨道长度之和，也就是：
$$|\Omega| = |\Omega_0| + 3M$$

已知 ( |\Omega|=98 )，代入上式可得：
$$98 = |\Omega_0| + 3M$$

把式子变形一下：
$$|\Omega_0| = 98 - 3M$$

计算98除以3的余数：( 98 = 3×32 + 2 )，所以 ( 98 ≡ 2 \pmod{3} )，因此 ( |\Omega_0| ≡ 2 \pmod{3} )，也就是 ( |\Omega_0|=3k+2 )，其中 ( k ) 是整数。

最后验证 ( k ) 的范围：

• 因为 ( |\Omega_0|≥0 )，所以 ( 3k+2≥0 )，结合 ( k ) 是整数，可得 ( k≥0 )。
• 又因为 ( |\Omega_0|≤98 )，所以 ( 3k+2≤98 )，解得 ( 3k≤96 )，即 ( k≤32 )。

综上，( |\Omega_0|=3k+2 )，其中 ( k ) 是满足 ( 0≤k≤32 ) 的整数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ma157