求满足EA=B的初等矩阵E（给定矩阵A、B）

原问题：求一个初等矩阵E，使得EA=B，其中
$$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \ 5 & 3 \end{bmatrix}$$
$$B = \begin{bmatrix} -4 & 2 \ 5 & 3 \end{bmatrix}$$
注：原文误将等式写为$\begin{bmatrix} 2 & -1 \ 5 & 3 \end{bmatrix}*E=\begin{bmatrix} -4 & 2 \ 5 & 3 \end{bmatrix}$，正确形式应为左乘E，即$EA=B$。

首先得回忆初等矩阵的核心性质：初等矩阵是对单位矩阵执行一次初等行变换后得到的矩阵，用初等矩阵左乘矩阵A，等价于对A执行对应的初等行变换。那咱们先拆解从A到B的行变化：

• 对比A和B的两行：第二行完全没有变化，还是$\begin{bmatrix}5&3\end{bmatrix}$；
• 第一行从$\begin{bmatrix}2&-1\end{bmatrix}$变成了$\begin{bmatrix}-4&2\end{bmatrix}$，显然是第一行的每个元素都乘以了-2（$2 \times (-2) = -4$，$-1 \times (-2) = 2$）。

对应的初等行变换就是：对2阶单位矩阵$\begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix}$，将其第一行乘以-2。执行这个变换后，得到的初等矩阵E就是：
$$E = \begin{bmatrix}-2&0\0&1\end{bmatrix}$$

最后验证一下结果：
$$EA = \begin{bmatrix}-2&0\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&-1\5&3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}(-2)\times2 + 0\times5 & (-2)\times(-1) + 0\times3 \0\times2 + 1\times5 & 0\times(-1) + 1\times3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4&2\5&3\end{bmatrix} = B$$
完全符合要求，这个E就是我们要找的初等矩阵。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mathguy