证明对$n\in\mathbb{N}\backslash\{1\}$，$(1-\frac{1}{2n})\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\leq(1+\frac{1}{n})^n$

我现在要解决的问题是：证明对于所有$n\in\mathbb{N}\backslash{1}$，以下不等式成立：
$$(1-\frac{1}{2n})\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\leq \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

可用提示 #

已知一个有用的不等式结论：当每个$\gamma_i\in(0,1)$时，
$$(1-\gamma_{1})\cdots (1-\gamma_{m})\geq 1-(\gamma_{1}+\cdots+\gamma_{m})$$

我的推导过程 #

我打算通过寻找$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$的紧下界来推导目标不等式，目前推到了这一步：
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum_{k=0}n\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot\frac{1}{n^{k}=\sum_{k=0}}n\frac{1}{k!}\left(\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\right)$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者u2'