为何该函数在Wolfram Alpha无积分结果？换元法结果存疑求助

首先要给你点个赞——你的换元推导和积分结果完全正确！我们可以通过求导验证来确认：
对结果 $-e^{-(t/\beta)\alpha} + C$ 求导：

d/dt [-e^{-(t/\beta)^\alpha}] = -e^{-(t/\beta)^\alpha} * d/dt[-(t/\beta)^\alpha]
= e^{-(t/\beta)^\alpha} * \alpha*(t/\beta)^{\alpha-1}*(1/\beta)
= \frac{\alpha t^{\alpha-1}e^{-(t/\beta)^\alpha}}{\beta^\alpha}

这正好和你的被积函数完全一致，说明你的计算没有任何问题。

至于Wolfram Alpha提示“未找到标准数学函数形式的结果”，大概率是因为它默认对参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 做了更宽泛的假设（比如允许它们是任意复数，或者未限定 $\alpha>0$、$\beta>0$）。而这个被积函数其实是威布尔分布的概率密度函数，通常我们会限定 $\alpha>0$（形状参数）、$\beta>0$（尺度参数），在这个合理的参数范围内，你的积分结果是完全成立的。

如果在Wolfram Alpha中明确限定参数范围（比如输入 Integrate[(α t^(α-1) Exp[-(t/β)^α])/β^α, t, Assumptions -> α>0 && β>0]），它应该就能给出你推导的结果了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Cedric Bottini