如何用求导乘积法则证明(f²)'=2ff'？

别担心，我刚学导数法则的时候也犯过类似的错误！咱们一步步拆解，把这个问题弄明白：

第一步：明确$g(x) = f^2(x)$的本质 #

首先，$f^2(x)$其实就是同一个函数相乘：

g(x) = f(x) * f(x)

这是应用乘积法则的核心前提——乘积法则是用来处理两个函数相乘的导数，这里的两个“因子”都是$f(x)$本身。

第二步：回忆乘积法则的公式 #

对于任意两个可导函数$u(x)$和$v(x)$，乘积法则的定义是：

(u*v)' = u'v + uv'

这里我们直接让$u(x) = f(x)$，$v(x) = f(x)$，完全符合乘积法则的适用场景。

第三步：代入计算 #

把$u$和$v$代入乘积法则：

• 先算第一项：$u'v = f'(x) * f(x)$
• 再算第二项：$uv' = f(x) * f'(x)$
• 把两项加起来：$f'(x)f(x) + f(x)f'(x)$

这两项是完全一样的，所以合并后就是：

2f(x)f'(x) = 2ff'

为什么你会得到$f'^2 + 2ff''$这类结果？ #

大概率是你在推导时错误地对某一项进行了二次求导，比如误以为$(f'*f)$需要再用一次乘积法则？其实不需要！乘积法则只需要对每个因子分别求一次导就够了：$u'$是$f(x)$的一阶导数$f'(x)$，而不是$f''(x)$；$v'$同理也是$f'(x)$。你可能把$u'$当成了$(f')'$（也就是二阶导数$f''$），才会出现多余的$f''$项。

再核对一遍：我们只需要对每个相乘的$f(x)$求一次导，然后分别和另一个$f(x)$相乘，再加起来，就得到正确结果啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SangoProductions