已知圆锥曲线上五点，求其方程的快速行列式方法

嘿，这个问题问到点子上了！硬把五个点代入一般方程解线性方程组确实太繁琐，用行列式的方法完全可以直接写出圆锥曲线的方程，我给你拆解清楚：

圆锥曲线的齐次一般方程可以表示为：
Ax² + Bxy + Cy² + Dxz + Eyz + Fz² = 0
这里我们用齐次坐标(x,y,z)来表示平面上的点——普通直角坐标(x,y)对应的齐次坐标就是(x,y,1)，这样处理能让行列式的形式更统一。

对于已知的五个圆锥曲线上的点P₁(x₁,y₁), P₂(x₂,y₂), ..., P₅(x₅,y₅)，它们对应的齐次坐标是(x₁,y₁,1), (x₂,y₂,1), ..., (x₅,y₅,1)。此时，平面上任意一点(x,y,z)在这条圆锥曲线上的充要条件，就是下面的6阶行列式等于0：

| x²   xy   y²   xz   yz   z² |
| x₁² x₁y₁ y₁² x₁z₁ y₁z₁ z₁² |
| x₂² x₂y₂ y₂² x₂z₂ y₂z₂ z₂² |
| x₃² x₃y₃ y₃² x₃z₃ y₃z₃ z₃² |
| x₄² x₄y₄ y₄² x₄z₄ y₄z₄ z₄² |
| x₅² x₅y₅ y₅² x₅z₅ y₅z₅ z₅² |
= 0

为什么这个方法有效？ #

这个行列式的逻辑很简单：如果(x,y,z)在圆锥曲线上，那么它对应的行和下面五个已知点的行是线性相关的（因为这六个点都满足同一个齐次线性方程），所以行列式的值为0。反过来，行列式为0也能保证(x,y,z)满足圆锥曲线方程，而且这个方程是唯一的（不考虑常数倍，这对圆锥曲线来说不影响，因为方程乘以非零常数还是同一条曲线）。

实际使用技巧 #

• 简化计算：如果已知点里有原点(0,0)，对应的行全是0（除了最后一列的1），计算行列式时可以直接按这一行展开，能大幅减少计算量。
• 退化情况：如果五个点共线，这个行列式会恒等于0——这是因为直线本身是退化的圆锥曲线，此时需要单独处理（直接求直线方程即可）。
• 工具辅助：手动展开6阶行列式还是有点麻烦，你可以用Python的numpy.linalg.det、Mathematica这类工具来计算，输入点坐标就能直接得到展开后的方程。

举个小例子：已知五个点(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),(2,3)，代入后行列式变为：

| x²  xy  y²  x  y  1 |
| 0   0   0   0  0  1 |
| 1   0   0   1  0  1 |
| 0   0   1   0  1  1 |
| 1   1   1   1  1  1 |
| 4   6   9   2  3  1 |
= 0

展开这个行列式就能得到对应的圆锥曲线方程，比解方程组快太多了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者stoic-santiago