求证：内积空间中||v||等于||w||=1时⟨v,w⟩的上确界

嘿，你已经找对了关键切入点，咱们把这个证明拆成两步理清楚，就很清晰了：

第一步：处理 $||v||=0$ 的简单情况 #

你说得没错，当 $||v||=0$ 时，根据内积空间的性质，$v$ 就是零向量。这时候对任意满足 $||w||=1$ 的 $w$，$\langle v,w\rangle=\langle 0,w\rangle=0$，而 $\sup{0}=0=||v||$，等式显然成立，所以咱们只需要聚焦 $v\neq0$ 的情况。

第二步：证明 $v\neq0$ 时的等式成立 #

这部分分两个小环节：

• 先找一个能取到 $||v||$ 的 $w$：你想到的 $w=\frac{v}{||v||}$ 完全正确！因为 $||w||=\left|\left|\frac{v}{||v||}\right|\right|=\frac{||v||}{||v||}=1$，刚好满足 $||w||=1$ 的条件。计算此时的内积：
  $$
  \langle v,w\rangle=\langle v,\frac{v}{||v||}\rangle=\frac{\langle v,v\rangle}{||v||}=\frac{||v||^2}{||v||}=||v||
  $$
  这说明集合 ${\langle v,w\rangle:||w||=1}$ 里至少有一个元素等于 $||v||$，所以这个集合的上确界 $\sup$ 肯定不小于 $||v||$。

• 再证明所有内积都不超过 $||v||$：这里要用到内积空间里的核心不等式——柯西-施瓦茨不等式：对任意向量 $u,w$，都有 $|\langle u,w\rangle|\leq||u||\cdot||w||$。
  咱们这里 $||w||=1$，代入后就得到：
  $$
  |\langle v,w\rangle|\leq||v||\cdot1=||v||
  $$
  而 $\langle v,w\rangle\leq|\langle v,w\rangle|$，所以自然有 $\langle v,w\rangle\leq||v||$ 对所有满足 $||w||=1$ 的 $w$ 都成立。这说明 $||v||$ 是这个集合的一个上界。

把这两点结合起来：集合的上确界既不小于 $||v||$，又不能超过 $||v||$，那它就只能等于 $||v||$ 啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Watson_Unknown