基于Michael Rozenberg思路的优美不等式证明求助

我这里提出一个参考Michael Rozenberg思路构造的不等式问题，希望能得到大家的帮助：

设$x,y,z$为满足$xyz=1$的正实数，则有
$$\frac{0.5\sqrt{\pi}}{\Gamma(f(x))}+\frac{0.5\sqrt{\pi}}{\Gamma(f(z))}+\frac{0.5\sqrt{\pi}}{\Gamma(f(y))}\leq 1.5$$
其中$f(x)=\dfrac{x}{x^{11}+1}$。

我尝试过不少常规的不等式证明方法，但都没能找到有效的突破口——这个不等式的难度明显高于原思路下的相关问题，实在无从下手了，恳请各位大佬能提供证明思路或者完整的证明过程，非常感谢！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user448747