求h(θ)=3sinθ−4cosθ+√2的最小值：我的解法为何出错？

首先，咱们拆解你解法里的两个核心问题：

错误1：辅助角公式的变形符号出错 #

你把$3\sinθ -4\cosθ$变形为$5\sin(θ + 53.13°)$是不对的。咱们回忆辅助角公式的展开规则：

$A\sin(θ + φ) = A\sinθ\cosφ + A\cosθ\sinφ$

对比原式$3\sinθ -4\cosθ$，如果写成$5\sin(θ + φ)$，需要满足：

• $5\cosφ = 3$ → $\cosφ = 3/5$
• $5\sinφ = -4$ → $\sinφ = -4/5$

这时候$φ$是负角（正弦值为负、余弦值为正，对应第四象限），也就是$φ≈-53.13°$，所以正确的变形应该是：
h(θ) = 5\sin(θ - 53.13°) + \sqrt{2}

你写成$θ + 53.13°$的话，展开后会得到$3\sinθ + 4\cosθ$，和原式的$-4\cosθ$符号完全相反，这是第一个关键错误。

错误2：最小值计算逻辑混乱 #

你得出的最小值$-5/5 - \sqrt{2}$完全没有依据——$\sin$函数的取值范围是$[-1, 1]$，所以$5\sin(...) $的最小值是$5×(-1) = -5$，而不是$-5/5$。这里大概率是笔误或者对三角函数有界性的误解。

正确的解题方法 #

方法1：辅助角公式法 #

1. 对$3\sinθ -4\cosθ$用辅助角公式正确变形：
   因为$\sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$，令$\cosφ = 3/5$，$\sinφ = -4/5$（对应$φ≈-53.13°$），所以：
   3\sinθ -4\cosθ = 5\sin(θ - 53.13°)
2. 代入原函数得：
   h(θ) = 5\sin(θ - 53.13°) + \sqrt{2}
3. 利用$\sin x ∈ [-1, 1]$，当$\sin(θ - 53.13°) = -1$时，$h(θ)$取最小值：
   h(θ)_{min} = 5×(-1) + \sqrt{2} = -5 + \sqrt{2}

方法2：直接利用三角函数线性组合的有界性 #

对于形如$a\sinθ + b\cosθ$的式子，它的取值范围是$[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$。
这里$a=3$，$b=-4$，所以$3\sinθ -4\cosθ$的最小值是$-\sqrt{3^2 + (-4)^2} = -5$，因此：
h(θ)_{min} = -5 + \sqrt{2}

这个方法更快捷，不需要记忆辅助角的具体角度，直接利用有界性即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user175089