函数$f(x)=ax^5+bx^4+cx^2+d$关于直线$x=k$对称的条件及解法验证

问题 #

下列哪一项是函数$f(x)=ax^5+bx4+cx^2+d$关于直线$x=k$对称的条件？

• 1. $k=a$
• 2. $k=b$
• 3. $k=c$
• 4. $k=d$

你的尝试思路 #

当$f(x)$关于$x=k$对称时，满足$$f(2k-x)=f(x)$$
代入得$$a(2k-x)^5+b(2k-x)4+c(2k-x)^2+d=ax5+bx^4+cx2+d$$
比较$x^{5$的系数得$a=0$，此时$f(x)=bx}4+cx^2+d$为偶函数，关于$x=0$对称，即$k=0$，故$k=a$，该思路是否正确？

分析与结论 #

你的思路部分正确，不过逻辑衔接可以再细化梳理，我们一步步拆解验证：

1. 首先，函数关于直线$x=k$对称的核心判定条件确实是$f(2k - x) = f(x)$，这一步你精准抓住了关键，没问题。
2. 代入函数展开后对比$x^5$的系数：
   • 左边展开后$x^5$的系数是$a \cdot (-1)^5 = -a$，右边$x^5$的系数是$a$，要让等式成立，必须满足$-a = a$，也就是$a=0$，这一步推导完全正确。
3. 当$a=0$时，$f(x)=bx^4+cx2+d$，这是一个仅包含偶次项的多项式，本质是偶函数，而偶函数的对称轴就是$x=0$，所以此时$k=0$。
4. 结合选项来看：只有当$a=0$时，$k=0=a$，刚好对应选项1的$k=a$。这里需要补充的是：如果$a≠0$，这个函数因为奇次项的存在，根本不可能关于任何直线$x=k$对称；只有当$a=0$时，对称轴为$x=0=a$，所以选项1是正确的条件。

整体来说，你的最终结论是对的，只是可以补充说明$a≠0$时的情况，让逻辑更完整。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ekaveera Gouribhatla