请求协助理解离散马尔可夫链最大值原理的证明过程

我最近在啃离散马尔可夫链最大值原理的证明，先把要证的核心命题明确下来：

设$W$是有限或可数状态空间$V$上马尔可夫链的状态集合。若函数$f: V \rightarrow \mathbb{R}$在$W$上是调和的，且$f$在$V$上的上确界在链从$W$中被吸收的某个元素$x_0$处取得，满足$f(x) = \sum_{x \sim y} p(x,y) f(y)$。求证：$f$在链从$W$处被吸收时从$x_0$可达的所有状态上为常数。

目前我正从调和函数的加权平均特性入手，结合马尔可夫链的可达性规则来拆解这个证明逻辑——毕竟最大值点的存在性和调和函数的定义结合起来，应该能推导出函数在可达状态上的常数性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ixaxaar