向量组线性独立性等价性证明问询：求验证思路及反向推导

你的正向思路整体是对的，不过等式展开有个小笔误：$a(v_1+v_3)+b(v_2+v_3)=0$应该展开为$a v_1 + b v_2 + (a+b)v_3=0$，而不是$a v_1 + (a+b)v_2 + b v_3$，不过核心逻辑没问题，我们先把正向推导的完整过程补全：

已知${v_1,v_2}$线性无关，且$v_3$不能表示为$v_1,v_2$的线性组合。假设存在标量$a,b$使得：
$$a(v_1+v_3) + b(v_2+v_3) = 0$$
整理等式可得：
$$a v_1 + b v_2 + (a + b)v_3 = 0$$

分情况讨论：

• 如果$a+b \neq 0$，那么可以解出：
  $$v_3 = -\frac{a}{a+b}v_1 - \frac{b}{a+b}v_2$$
  这意味着$v_3$是$v_1,v_2$的线性组合，和题设矛盾，因此$a+b$必须等于0。
• 当$a+b=0$时，原等式简化为$a v_1 + b v_2 = 0$。因为${v_1,v_2}$线性无关，所以$a=0$且$b=0$。

综上，只有$a=b=0$时等式成立，所以${v_1+v_3, v_2+v_3}$线性无关。

需要特别注意：原命题的反向推导并不成立，也就是说“${v_1+v_3, v_2+v_3}$线性无关”无法推出“${v_1,v_2}$线性无关”，我们可以举一个直观的反例：

取$V=\mathbb{R}^2$，$v_1=(1,0)$，$v_2=(2,0)$，$v_3=(0,1)$：

• $v_3=(0,1)$显然不是$v_1,v_2$的线性组合（$v_1,v_2$都在x轴上，$v_3$在y轴上，无法用x轴向量线性表示）；
• 集合${v_1+v_3=(1,1), v_2+v_3=(2,1)}$是线性无关的（计算这两个向量的行列式：$11 - 21 = -1 \neq0$，说明它们线性无关）；
• 但集合${v_1,v_2}$是线性相关的（显然$2v_1 -v_2=0$）。

这个反例说明，即使${v_1+v_3, v_2+v_3}$线性无关，${v_1,v_2}$也可能线性相关——本质原因是$v_3$不在$\text{span}{v_1,v_2}$中时，它的存在可以“打破”$v_1,v_2$原本的线性相关性，让两个新组合向量变得线性无关。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Inverse Problem