数论问题：求方程$x^p\equiv x \pmod{p^n}$在$\mathbb{Z}_{p^n}$中的解的个数
嘿，你的思路完全找对了！从模p的解出发用Hensel引理提升到模$p^n$，就是解决这个问题的核心路径，咱们一步步把它理清楚：
第一步：先搞定模p的基础解
首先看模p的情况，方程是$x^p \equiv x \pmod{p}$。根据费马小定理，$\mathbb{Z}_p$（模p的剩余类域）里的所有元素都满足这个等式——毕竟对于任意$x \in \mathbb{Z}_p$，要么$x=0$，要么$x$与p互素，互素时费马小定理直接给出$x^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$，两边乘x就是$x^p \equiv x$。所以模p时恰好有p个解，也就是0,1,2,...,p-1这所有剩余类。
接下来要把这些解逐个提升到模$p^n$的情况，这里分两种类型的解讨论：与p互素的解，和被p整除的解（也就是$x \equiv 0 \pmod{p}$）。
第二步：提升与p互素的解
对于模p中满足$x_0^p \equiv x_0 \pmod{p}$且$\gcd(x_0,p)=1$的解（也就是1到p-1这p-1个元素），我们先构造多项式$f(x)=x^p - x$，它的导数是$f'(x)=p x^{p-1} - 1$。
代入$x_0$计算导数：$f'(x_0)=p x_0^{p-1} -1 \equiv -1 \pmod{p}$，显然$\gcd(f'(x_0),p)=1$——这刚好满足Hensel引理的强提升条件：每个模p的解都能唯一地提升到模$p2$、$p3$……直到模$p^n$的解，而且提升后的解依然与p互素。
所以这部分对应的模$p^n$解有p-1个，每个都是模p非零解的唯一提升。
第三步：提升$x \equiv 0 \pmod{p}$的解
这部分要分奇素数和p=2两种情况：
情况1：p是奇素数
对于$x_0=0 \pmod{p}$，计算导数$f'(0)=p0^{p-1}-1 \equiv -1 \pmod{p}$，同样满足$\gcd(f'(0),p)=1$，咱们直接代入验证更直观：
假设$x=py$，代入模$p^2$的方程：$(p y)^p \equiv p y \pmod{p2}$。左边是$pp yp$，因为p是奇素数（p≥3），所以$pp \geq p3$，左边是$p3$的倍数，自然$\equiv 0 \pmod{p^2}$；右边是$p y$，因此$0 \equiv p y \pmod{p^2} \rightarrow y \equiv 0 \pmod{p}$，也就是$x \equiv 0 \pmod{p^2}$。
继续递推到模$p3$：设$x=p2 y$，代入得$(p^2 y)^p =p^{2p} y^p$，$2p \geq p+2 \geq5$，左边$\equiv0 \pmod{p3}$，右边是$p2 y$，所以$0 \equiv p^2 y \pmod{p^3} \rightarrow y \equiv0 \pmod{p}$，即$x \equiv0 \pmod{p^3}$。
以此类推，最终这个解只能提升到**$x \equiv0 \pmod{p^n}$**这一个唯一解。
情况2：p=2（偶素数，特殊处理）
模2时方程$x^2 \equiv x \pmod{2}$的解是0和1，共2个。现在看提升到模$2^n$的情况：
- 对于$x \equiv1 \pmod{2}$的解，导数$f'(1)=2*1-1=1 \equiv1 \pmod{2}$，满足强提升条件，最终唯一提升到$x \equiv1 \pmod{2^n}$；
- 对于$x \equiv0 \pmod{2}$的解，代入方程$x^2 \equiv x \pmod{2^n}$得$x(x-1) \equiv0 \pmod{2n}$。因为x和x-1是相邻整数，互素，所以$2n$必须整除其中一个——要么$x \equiv0 \pmod{2^n}$，要么$x-1 \equiv0 \pmod{2^n}$。而$x \equiv0 \pmod{2}$时，只能是$x \equiv0 \pmod{2^n}$才满足等式。
所以p=2时，不管n≥1，方程的解都是0和1这两个，也就是2个解（n=1时是模2的0和1，n≥2时是模$2^n$的0和1）。
最终结论
- 当p是奇素数时，方程$x^p \equiv x \pmod{pn}$在$\mathbb{Z}_{pn}$中恰好有p个解：包括$0 \pmod{p^n}$，以及p-1个由模p非零解唯一提升得到的与p互素的解；
- 当p=2时，方程在$\mathbb{Z}_{2n}$中始终有**2个解**（0和1对应的模$2n$剩余类）。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者chloe loughan
