非满射非幺环同态下素理想原像性质的反例问询

我们可以通过具体的环和同态来构造满足条件的例子：

1. 选取环和同态

   • 设$R = \mathbb{Z}$（整数环，含幺交换环），$S = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$（两个整数环的乘积环，含幺交换环，幺元为$(1,1)$）。
   • 定义环同态$f: R \to S$为：$f(n) = (0, n)$。
     • 验证同态：$f(n+m) = (0, n+m) = (0,n)+(0,m) = f(n)+f(m)$，$f(nm) = (0, nm) = (0,n)(0,m) = f(n)f(m)$，完全符合环同态的定义。
     • 非幺同态：$f(1_R) = (0,1) \neq (1,1) = 1_S$，不保持环的幺元。
     • 非满射：像集为${(0,n) \mid n \in \mathbb{Z}}$，显然$(1,0)$不在像集中，因此不是满射。

2. 选取S中的素理想J

   • 取$J = (2) \times \mathbb{Z}$，即所有形如$(2k, l)$（$k,l \in \mathbb{Z}$）的元素构成的集合。
   • 验证J是素理想：
     • J是真理想：$(1,0) \notin J$，因此J是S的真子集。
     • 满足素理想条件：若$(a,b)(c,d) = (ac, bd) \in J$，则$ac \in (2)$（即2整除ac）。由于$\mathbb{Z}$是整环，2必然整除a或c，即$a \in (2)$或$c \in (2)$，因此$(a,b) \in J$或$(c,d) \in J$，符合素理想的定义。

3. 计算原像$f^{-1}(J)$并验证其不是素理想

   • $f^{-1}(J)$是所有$n \in R$满足$f(n) = (0,n) \in J$的集合。由于$(0,n) \in J$的条件是$0 \in (2)$（恒成立）且$n \in \mathbb{Z}$（恒成立），因此$f^{-1}(J) = \mathbb{Z} = R$。
   • 根据素理想的定义，素理想必须是真理想（即不等于整个环），而$f^{-1}(J)$等于R本身，因此它不是素理想。

这个例子完美符合你的要求：f既非满射也非幺同态，J是S的素理想，但$f^{-1}(J)$不是R的素理想。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jhon Doe