求满足乘2至9后数字和不变的两位数个数及性质成因

首先直接给答案：满足条件的两位数一共有4个，分别是18、45、90、99。

为什么先锁定数字和为9或18的数？ #

这里要用到数论里一个很基础的结论：任何数的数字和，和它本身除以9的余数是相等的（比如18的数字和是9，18÷9余0；27的数字和是9，27÷9也余0）。

假设某个两位数n符合要求——乘2到9的任意数后，数字和和原数一样。那对于每个k（2≤k≤9），设原数的数字和为S，乘积k*n的数字和也得是S。根据上面的结论：

• S ≡ n mod9（原数的数字和和原数同余）
• S ≡ k*n mod9（乘积的数字和和乘积同余）

把第一个式子代入第二个，就得到：S ≡ kS mod9 → S(k-1) ≡0 mod9。

要让这个式子对k=2到9都成立（也就是k-1从1到8），只有当S是9的倍数才行——因为8和9互质，只有9的倍数和1到8相乘后，结果才能被9整除。

两位数的数字和最大是9+9=18，所以S只能是9或者18：

• 数字和为9的两位数：18、27、36、45、54、63、72、81、90
• 数字和为18的两位数：只有99（毕竟两个数字加起来要到18，只能是9+9）

逐个验证：哪些真的符合要求？ #

不是所有数字和为9的数都满足你的观察哦，我们一个个看：

• 18：不管乘2到9的哪个数，结果的数字和都是9（比如187=126，1+2+6=9；188=144，1+4+4=9），完全符合
• 27：乘7得到189，数字和是1+8+9=18≠9，不符合
• 36：乘8得到288，数字和是2+8+8=18≠9，不符合
• 45：所有乘积的数字和都是9（比如457=315，3+1+5=9；459=405，4+0+5=9），符合
• 54：乘7得到378，数字和是3+7+8=18≠9，不符合
• 63：乘3得到189，数字和18≠9，不符合
• 72：乘4得到288，数字和18≠9，不符合
• 81：乘6得到486，数字和4+8+6=18≠9，不符合
• 90：所有乘积的数字和都是9（比如90*7=630，6+3+0=9），符合
• 99：所有乘积的数字和都是18（比如992=198，1+9+8=18；999=891，8+9+1=18），符合

为什么不是所有数字和为9的数都满足？ #

你提到的“数字和为9的数乘任何数都保持数字和不变”其实不准确，原因和乘法中的进位有关：
当一个数n的数字和是9时，kn肯定是9的倍数，所以它的数字和也一定是9的倍数（可能是9、18、27...），但不一定等于原来的9。比如277=189，乘法过程中发生了两次进位，导致最终数字和变成了18——只有当k*n的数字和刚好是9（而不是18或更大的9的倍数）时，才符合要求，而大部分数字和为9的两位数，乘以某些k后，结果的数字和会变成18，就不符合了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者pavle