关于不含直线x=y的狗骨头型隐曲线|x|^x=|y|^y的技术问询

嘿，这个“狗骨头”曲线确实挺有意思的！咱们来一步步拆解你要解决的问题——定义去掉直线x=y但保留它和原曲线两个交点的曲线f。

先理清原曲线的结构 #

原方程|x|^x = |y|^y的解由两部分组成：

• 整条直线x=y（显然满足方程）；
• 非x=y的分支，也就是你说的“狗骨头”部分，这部分是因为函数g(t)=|t|^t的单调性特性产生的：
  • 当t>0时，g(t)=t^t在(0, 1/e)递减，在(1/e, +∞)递增，最小值为e^(-1/e)。所以对每个大于这个最小值的取值，方程g(t)=c有两个不同解，对应狗骨头的右上部分；
  • 当t<0时，g(t)=(-t)^t=1/((-t)^(-t))，和t>0的情况对称，对应狗骨头的左下部分。

你提到的“两个交点”，其实就是狗骨头分支和直线x=y的端点：(1/e, 1/e)和(-1/e, -1/e)——这两个点是狗骨头分支的极限点，同时也在直线x=y上。

如何精确定义曲线f #

最直接的方式是用集合表示，清晰地排除不需要的部分：
$$
f = {(x,y) \mid |x|^x = |y|^y} \setminus {(x,x) \mid x \neq 1/e \text{ 且 } x \neq -1/e}
$$
翻译成人话就是：保留原方程的所有解，但去掉直线x=y上除了(1/e,1/e)和(-1/e,-1/e)之外的所有点。

如果你需要用隐函数形式表达，可以写成：
$$
(|x|^x - |y|^y)(x - y) = 0 \quad \text{且} \quad (x=y=1/e) \text{ 或 } (x=y=-1/e) \text{ 或 } x \neq y
$$

可视化实现思路（以Python为例） #

如果要画出这条曲线，可以用数值方法求解每个x对应的非x解y，同时单独标记两个端点：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def solve_y(x):
    # 求解y≠x使得|x|^x=|y|^y
    if x > 0:
        target = x**x
        if x < 1/np.e:
            # x∈(0,1/e)，找y∈(1/e,+∞)的解
            low, high = 1/np.e, 2
            for _ in range(100):
                mid = (low + high)/2
                low, high = (mid, high) if mid**mid < target else (low, mid)
            return (low + high)/2
        elif x > 1/np.e:
            # x∈(1/e,+∞)，找y∈(0,1/e)的解
            low, high = 0.01, 1/np.e
            for _ in range(100):
                mid = (low + high)/2
                low, high = (mid, high) if mid**mid < target else (low, mid)
            return (low + high)/2
        else:
            return x
    elif x < 0:
        a = -x
        target = 1/(a**a)
        if a < 1/np.e:
            low, high = 1/np.e, 2
            for _ in range(100):
                mid = (low + high)/2
                low, high = (mid, high) if mid**mid < a**a else (low, mid)
            return -(low + high)/2
        elif a > 1/np.e:
            low, high = 0.01, 1/np.e
            for _ in range(100):
                mid = (low + high)/2
                low, high = (mid, high) if mid**mid < a**a else (low, mid)
            return -(low + high)/2
        else:
            return x
    else:
        return np.nan

# 生成各分支点
x1 = np.linspace(0.01, 1/np.e - 0.001, 100)
y1 = [solve_y(x) for x in x1]
x2 = np.linspace(1/np.e + 0.001, 2, 100)
y2 = [solve_y(x) for x in x2]
x3 = np.linspace(-2, -1/np.e - 0.001, 100)
y3 = [solve_y(x) for x in x3]
x4 = np.linspace(-1/np.e + 0.001, -0.01, 100)
y4 = [solve_y(x) for x in x4]

# 端点
pt1 = (1/np.e, 1/np.e)
pt2 = (-1/np.e, -1/np.e)

plt.figure(figsize=(8,8))
plt.plot(x1, y1, 'b')
plt.plot(x2, y2, 'b')
plt.plot(x3, y3, 'b')
plt.plot(x4, y4, 'b')
plt.scatter(*pt1, color='red', s=50, label='(1/e, 1/e)')
plt.scatter(*pt2, color='red', s=50, label='(-1/e, -1/e)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Dogbone Curve: |x|^x = |y|^y (excluding x=y except endpoints)')
plt.legend()
plt.axis('equal')
plt.grid(True)
plt.show()

这段代码会画出完整的狗骨头分支，同时用红点标记两个需要保留的端点，完全符合你的需求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tony Ma