如何用解析法求解给定对数不等式？附部分解题步骤

咱们接着把这个对数不等式的求解过程做完，先回顾你已经推导的定义域：
通过分析对数的底数、真数要求，得到：
$$
\left. \left{ \begin{array}{l} x > 0 \ x \ne 1 \ x^2 + 2x - 3 \ge 0 \ x^2 + 2x - 2 > 0 \end{array} \right. \right} \Rightarrow x \in (1; + \infty)
$$
因为$x>1$，所以$\log_5 x > 0$，原不等式两边同时乘以$\log_5 x$（不等号方向不变），得到：
$$
\log_5\left(\sqrt{x^2 + 2x - 3} + 2\right) \cdot \log_5(x^2 + 2x - 2) \ge \log_5 4
$$

步骤1：变量替换简化表达式 #

令$y = x^2 + 2x - 2$，注意到$x^2 + 2x - 3 = y - 1$。结合$x>1$的定义域，$y=(x+1)^2 - 3$，当$x>1$时，$(x+1)^2>4$，因此$y>1$，即$y \in (1, +\infty)$。

原不等式转化为：
$$
\log_5\left(\sqrt{y - 1} + 2\right) \cdot \log_5 y \ge \log_5 4
$$

步骤2：分析函数单调性与分情况讨论 #

观察两个对数项：

• $\log_5 y$在$(1,+\infty)$上单调递增，且始终为正；
• $\log_5\left(\sqrt{y - 1} + 2\right)$中，$\sqrt{y-1}$随$y$增大而增大，因此整个真数$\sqrt{y-1}+2$单调递增，结合$\log_5$的增函数性质，该式在$(1,+\infty)$上也单调递增，且始终为正（因为$\sqrt{y-1}+2>2>1$）。

由于两个因子均为正，我们分情况讨论：

情况1：$y \ge 2$ #

此时$\log_5 y \ge \log_5 2 > 0$，我们先找临界值：
当$y=5$时，$\sqrt{5-1}+2=2+2=4$，代入不等式左边得：
$$\log_5 4 \cdot \log_5 5 = \log_5 4 \cdot 1 = \log_5 4$$
刚好等于右边，满足不等式。

当$y>5$时：

• $\log_5 y > \log_5 5 = 1$；
• $\sqrt{y-1}+2 > \sqrt{5-1}+2=4$，因此$\log_5\left(\sqrt{y-1}+2\right) > \log_5 4$；
  左边为两个大于对应右边因子的正数相乘，显然$\log_5\left(\sqrt{y-1}+2\right) \cdot \log_5 y > \log_5 4 \cdot 1 = \log_5 4$，满足不等式。

当$2 \le y <5$时：
$\log_5 y <1$，且$\log_5\left(\sqrt{y-1}+2\right) < \log_5 4$（因为$\sqrt{y-1}+2 <4$），因此左边乘积小于$\log_5 4 \cdot 1 = \log_5 4$，不满足不等式。

情况2：$1 < y <2$ #

此时$\log_5 y < \log_5 2$，$\log_5\left(\sqrt{y-1}+2\right) < \log_5 3$，两者乘积最大约为$\log_5 3 \cdot \log_5 2 \approx 0.294$，远小于$\log_5 4 \approx 0.861$，不满足不等式。

步骤3：回代求解$x$的范围 #

由$y \ge5$，即$x^2 +2x -2 \ge5$，整理得：
$$x^2 +2x -7 \ge0$$
解这个二次不等式：
方程$x^2 +2x -7=0$的根为$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 +28}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2}$。

结合$x>1$的定义域，舍去负根，得到$x \ge -1 + 2\sqrt{2}$。

最终解集 #

综合所有分析，原不等式的解集为：
$$x \in [ -1 + 2\sqrt{2}, +\infty )$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者eanmos