连续型随机变量CDF一致连续性的证明方法问询

这个问题其实可以结合CDF的核心性质和微积分里的经典结论来拆解，咱们一步步来：

首先先明确几个关键前提：

• 连续型随机变量的CDF F(x) = P(X ≤ x) 是定义在全体实数ℝ上的非递减函数
• 它满足极限条件：limₓ→-∞ F(x) = 0，limₓ→+∞ F(x) = 1
• 题目已经给出：X是连续型当且仅当F连续，所以我们的目标就是从「F连续、单调有界且在无穷远处收敛」这几点，推导出F在ℝ上一致连续。

第一步：先处理无穷远的两端区间 #

对于任意给定的ε > 0：

• 因为limₓ→-∞ F(x) = 0，所以总能找到一个负数M，使得只要x < M，就有0 ≤ F(x) < ε/2。这时候不管两个点x₁, x₂在(-∞, M)里相距多近或多远，它们的CDF值差都满足|F(x₁) - F(x₂)| ≤ max{F(x₁), F(x₂)} < ε/2 < ε
• 同理，因为limₓ→+∞ F(x) = 1，也能找到一个正数N，使得只要x > N，就有1 - ε/2 < F(x) ≤ 1。对于这个区间里的任意两个点x₁, x₂，CDF值差满足|F(x₁) - F(x₂)| ≤ 1 - min{F(x₁), F(x₂)} < ε/2 < ε

第二步：利用闭区间的一致连续性处理中间区域 #

现在看闭区间[M, N]：
F是定义在闭区间上的连续函数，根据微积分里的Cantor定理（闭区间上的连续函数必一致连续），对于刚才的ε > 0，一定存在一个δ > 0，使得只要x₁, x₂ ∈ [M, N]且|x₁ - x₂| < δ，就有|F(x₁) - F(x₂)| < ε

第三步：整合所有情况，验证全局一致连续性 #

现在把整个实数域分成三个部分：(-∞, M)、[M, N]、(N, +∞)，再覆盖跨区间的情况：

1. 若x₁, x₂在同一个区间内：
   • 两端区间已经满足CDF值差小于ε
   • 中间闭区间只要两点距离小于δ，也满足条件
2. 若x₁ < M且x₂ ∈ [M, N]，且|x₁ - x₂| < δ：
   因为F非递减，所以|F(x₁)-F(x₂)| = F(x₂) - F(x₁)。结合第一步的结论，F(x₁) < ε/2，且F(x₂) - F(M) < ε/2（因为x₂ - M ≤ x₂ - x₁ < δ，中间区间一致连续），而F(M) ≤ ε/2（F连续且非递减，x<M时F(x)<ε/2），所以总和F(x₂) - F(x₁) < ε/2 + ε/2 = ε
3. 同理，若x₁ > N且x₂ ∈ [M, N]，且|x₁ - x₂| < δ，也能推出|F(x₁)-F(x₂)| < ε

这样一来，对于任意ε > 0，我们找到了统一的δ > 0，只要ℝ上的两点距离小于δ，它们的CDF值差就小于ε——这就证明了F在ℝ上是一致连续的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Shameek Mandal