求方程$2\tan^2x - 5\sec x = 1$在指定区间恰有7解时n的最大值

先一步步梳理正确的解题过程：

步骤1：转化原方程为关于$\sec x$的二次方程 #

原方程里的$\tan^{2x$可以用三角恒等式$\tan}2x = \sec^2x - 1$替换，代入后得到：

2(\sec^2x - 1) - 5\sec x = 1

展开整理后是标准的二次方程：

2\sec^2x - 5\sec x - 3 = 0

设$t = \sec x$，解这个方程得$t=3$或$t=-\frac{1}{2}$。

步骤2：筛选有效解 #

因为$\sec x = \frac{1}{\cos x}$，而$\cos x$的取值范围是$[-1,1]$，所以$\sec x = -\frac{1}{2}$对应的$\cos x = -2$显然无解，只有$\sec x=3$（即$\cos x = \frac{1}{3}$）是有效解。

步骤3：写出通解并分析区间内的解 #

$\cos x = \frac{1}{3}$的通解为：
$$x = 2k\pi \pm \alpha \quad (k\in\mathbb{Z})$$
其中$\alpha = \cos^{-1}\frac{1}{3}$，是一个介于$0$和$\frac{\pi}{2}$之间的锐角。

我们逐个分析$k$取值对应的解是否在$[0,\frac{n\pi}{2}]$内：

• $k=0$：解为$x=\alpha$（在区间内）和$x=-\alpha$（不在区间内），共1个解；
• $k=1$：解为$x=2\pi+\alpha$和$x=2\pi-\alpha$，两个都在区间内，累计3个解；
• $k=2$：解为$x=4\pi+\alpha$和$x=4\pi-\alpha$，两个都在区间内，累计5个解；
• $k=3$：解为$x=6\pi+\alpha$和$x=6\pi-\alpha$，两个都在区间内的话，累计7个解；
• $k=4$：解为$x=8\pi+\alpha$和$x=8\pi-\alpha$，这两个如果进入区间，解的个数就会超过7个。

步骤4：确定n的范围 #

要恰有7个解，需要满足两个条件：

1. 第7个解$6\pi+\alpha$必须在区间内：
   $$6\pi+\alpha \leq \frac{n\pi}{2}$$
   整理得$n \geq 12 + \frac{2\alpha}{\pi}$，因为$\alpha < \frac{\pi}{2}$，所以$\frac{2\alpha}{\pi} <1$，即$n \geq13$（n是自然数）。
2. 第8个解$8\pi-\alpha$必须不在区间内：
   $$8\pi-\alpha > \frac{n\pi}{2}$$
   整理得$n < 16 - \frac{2\alpha}{\pi}$，因为$\alpha >0$，所以$16 - \frac{2\alpha}{\pi} >15$，即$n \leq15$（n是自然数）。

综上，n的最大值是15。

关于你尝试中的小疏漏 #

你提到“k可取0,1,2,3，由此可推断n不能大于6”，应该是误把区间$[0,\frac{n\pi}{2}]$当成了$[0,n\pi]$。如果是后者的话，n的最大值会是7，但题目给定的区间是$[0,\frac{n\pi}{2}]$，所以要重新计算区间上限哦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Piano Land