C¹类映射f的隐函数存在性证明、导数求解及解的讨论

这是一道关于隐函数定理的经典题目，我来一步步帮你拆解解答：

首先回忆隐函数定理的核心条件：对于$C^{1$映射$f:\mathbb{R}}n\to\mathbb{R}^{m$，若在点$\mathbf{a}$处$f(\mathbf{a})=0$，且$f$关于某$m$个变量的雅克比子矩阵可逆，那么在$\mathbf{a}$的邻域内，这$m$个变量可以表示为其余变量的$C}1$函数。

回到题目，我们要把$y_1,y_2$表示为$x$的函数，先计算$f$关于$y_1,y_2$的雅克比子矩阵：
$$\frac{\partial(f_1,f_2)}{\partial(y_1,y_2)} = \begin{bmatrix}2 & 1\ -1 & 1\end{bmatrix}$$
它的行列式是$2\times1 - 1\times(-1)=3\neq0$，说明这个子矩阵是可逆的。

又已知$f$是$C^{1$类映射，且$f(3,-1,2)=0$，完全符合隐函数定理的所有条件。因此必然存在$\mathbb{R}$中包含3的开集$B$，以及$C}1$类函数$g:B\to\mathbb{R}^2$，使得对所有$x\in B$都有$f(x,g_1(x),g_2(x))=0$，同时满足$g(3)=(-1,2)$。

我们用隐函数的链式求导法则来计算：对等式$f(x,g_1(x),g_2(x))=0$两边关于$x$求导，可得：
$$Df(x,g_1(x),g_2(x)) \cdot \begin{bmatrix}1\ Dg(x)\end{bmatrix} = 0$$

把$x=3$代入，已知$Df(3,-1,2)=\begin{bmatrix}1 & 2 & 1\ 1& -1 & 1\end{bmatrix}$，设$Dg(3)=\begin{bmatrix}g_1'(3)\ g_2'(3)\end{bmatrix}$，代入后得到方程组：

• $1 + 2g_1'(3) + g_2'(3) = 0$
• $1 - g_1'(3) + g_2'(3) = 0$

用第一个方程减去第二个方程，可得$3g_1'(3)=0$，即$g_1'(3)=0$；再把这个结果代入第二个方程，解得$g_2'(3)=-1$。

因此$Dg(3)=\begin{bmatrix}0\ -1\end{bmatrix}$。

我们需要分别验证三组变量对应的雅克比子矩阵是否可逆，以此判断是否能应用隐函数定理：

• 关于$y_1,y_2$作为$x$的函数：如(a)中所述，雅克比子矩阵行列式为3≠0，满足可逆条件，因此在点$(3,-1,2)$的邻域内，存在唯一的$C^1$函数$g(x)$把$y_1,y_2$表示为$x$的函数，具体如(a)结论。

• 关于$x,y_2$作为$y_1$的函数：计算$f$关于$x,y_2$的雅克比子矩阵：
  $$\frac{\partial(f_1,f_2)}{\partial(x,y_2)} = \begin{bmatrix}1 & 1\ 1 & 1\end{bmatrix}$$
  它的行列式是$1\times1 - 1\times1=0$，不满足可逆条件，因此无法在点$(3,-1,2)$的邻域内把$x,y_2$表示为$y_1$的$C^1$函数。

• 关于$x,y_1$作为$y_2$的函数：计算$f$关于$x,y_1$的雅克比子矩阵：
  $$\frac{\partial(f_1,f_2)}{\partial(x,y_1)} = \begin{bmatrix}1 & 2\ 1 & -1\end{bmatrix}$$
  它的行列式是$1\times(-1)-2\times1=-3≠0$，满足可逆条件，因此在点$(3,-1,2)$的邻域内，存在$\mathbb{R}$中包含2的开集$B'$，以及$C^{1$类函数$h:B'\to\mathbb{R}}2$，使得$f(h_1(y_2),h_2(y_2),y_2)=0$对所有$y_2\in B'$成立，且$h(2)=(3,-1)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user424241