关于直和的证明：求证若W=W₁+⋯+Wₖ则dim(W)=dim(W₁)+⋯+dim(Wₖ)

嘿，我得先给你提个关键细节——你说的这个维数等式 dim(W)=dim(W₁)+⋯+dim(Wₖ)，其实只有当子空间W₁到Wₖ的和是直和（也就是W = W₁⊕W₂⊕…⊕Wₖ）的时候才成立哦！如果只是普通的子空间和，维数公式会涉及容斥原理，不是简单相加。不过既然你聚焦这个等式，那我们就针对直和的场景一步步来证明：

第一步：明确直和的核心等价条件 #

对于子空间W₁, W₂, ..., Wₖ，它们的和W = W₁+…+Wₖ是直和，等价于以下任意一条：

• 任意w∈W都能唯一分解为w = w₁+w₂+…+wₖ，其中wᵢ∈Wᵢ（i=1,2,...,k）
• 零向量的分解唯一：若0 = w₁+w₂+…+wₖ且wᵢ∈Wᵢ，则必有w₁=w₂=…=wₖ=0
• 每个子空间与其他所有子空间的和的交是零空间：Wᵢ∩(W₁+…+Wᵢ₋₁+Wᵢ₊₁+…+Wₖ) = {0}，对所有i=1到k成立

我们后面的证明会用到第二个等价条件，它是最方便用来推导线性无关性的。

第二步：构造直和空间的基 #

假设我们已经为每个子空间Wᵢ找到了一组基：

• W₁的基：$B₁ = {α₁₁, α₁₂, ..., α₁_{n₁}}$，其中 $n₁ = dim(W₁)$
• W₂的基：$B₂ = {α₂₁, α₂₂, ..., α₂_{n₂}}$，其中 $n₂ = dim(W₂)$
• ...
• Wₖ的基：$Bₖ = {αₖ₁, αₖ₂, ..., αₖ_{nₖ}}$，其中 $nₖ = dim(Wₖ)$

接下来我们要证明：所有基向量的并集 $B = B₁∪B₂∪…∪Bₖ$ 是W的一组基

证明B能张成W #

任取w∈W，因为W是W₁到Wₖ的和，所以存在w₁∈W₁, w₂∈W₂, ..., wₖ∈Wₖ，使得 $w = w₁+w₂+…+wₖ$。
每个wᵢ都可以用自己子空间的基向量线性表示：
$w₁ = a₁₁α₁₁ + a₁₂α₁₂ + … + a₁_{n₁}α₁_{n₁}$
$w₂ = a₂₁α₂₁ + a₂₂α₂₂ + … + a₂_{n₂}α₂_{n₂}$
...
$wₖ = aₖ₁αₖ₁ + aₖ₂αₖ₂ + … + aₖ_{nₖ}αₖ_{nₖ}$

把这些表达式代入w的分解式，就能得到w是B中所有向量的线性组合，所以B张成W。

证明B线性无关 #

假设存在一组系数 $a_{ij}$（i从1到k，j从1到nᵢ），使得：
$a₁₁α₁₁ + … + a₁_{n₁}α₁_{n₁} + a₂₁α₂₁ + … + a₂_{n₂}α₂_{n₂} + … + aₖ₁αₖ₁ + … + aₖ_{nₖ}αₖ_{nₖ} = 0$

令 $w₁ = a₁₁α₁₁ + … + a₁_{n₁}α₁_{n₁} ∈ W₁$，$w₂ = a₂₁α₂₁ + … + a₂_{n₂}α₂_{n₂} ∈ W₂$，…，$wₖ = aₖ₁αₖ₁ + … + aₖ_{nₖ}αₖ_{nₖ} ∈ Wₖ$，那么上式就变成 $w₁ + w₂ + … + wₖ = 0$。

根据直和的等价条件（零向量分解唯一），必须有 $w₁=0, w₂=0, ..., wₖ=0$。
而每个wᵢ是其对应子空间基向量的线性组合，基向量本身是线性无关的，所以所有系数 $a_{ij}$ 都必须为0。这就说明B中的向量线性无关。

第三步：推导维数等式 #

既然B是W的一组基，那么W的维数就是B中向量的总数。而B的大小正好是 $n₁ + n₂ + … + nₖ = dim(W₁)+dim(W₂)+…+dim(Wₖ)$，所以：
$dim(W) = dim(W₁)+dim(W₂)+…+dim(Wₖ)$

补充：普通子空间和的维数公式（可选参考） #

如果只是普通的子空间和（非直和），维数公式是容斥原理的推广：

• 两个子空间的情况：$dim(W₁+W₂) = dim(W₁) + dim(W₂) - dim(W₁∩W₂)$
• 三个子空间的情况：$dim(W₁+W₂+W₃) = dim(W₁)+dim(W₂)+dim(W₃) - dim(W₁∩W₂) - dim((W₁+W₂)∩W₃)$
• 更多子空间以此类推，每新增一个子空间，就要减去它和前面所有子空间和的交的维数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rcoder