正规子群与交的代表元关联问题

好的，我们来一步步梳理这个问题，看看怎么建立这两个陪集代表系以及对应的形式和之间的关联～

首先明确已知条件：$U, V \triangleleft G$（正规子群），且$[G:U], [G:V], [G:H]$都是有限的，自然$[U:V]$和$[H∩U:H∩V]$也是有限的（子群的交的指数不会超过原群的指数）。

一、代表元集合的关联 #

我们可以通过陪集分解的嵌套来建立两个代表元集合的对应关系：

• 先处理商群$(H∩U)/(H∩V)$：因为$V \triangleleft U$，所以$H∩V \triangleleft H∩U$（正规子群与任意子群的交在该子群中正规）。先选好它的一套代表元${y_j}$，满足$H∩U = \bigcup_j y_j (H∩V)$，且这些陪集两两不交。
• 再处理$U$模子群$(H∩U)V$的分解：因为$V \triangleleft U$，$(H∩U)V$是$U$的子群（正规子群与子群的乘积是子群）。选它的一套代表元${x_k}$，满足$U = \bigcup_k x_k (H∩U)V$，陪集两两不交。

这时候，$U/V$的所有陪集可以拆解为：
$$U/V = \bigcup_k \bigcup_j (x_k y_j) V$$
而且这些陪集两两不交（如果$x_k y_j V = x_{k'} y_{j'} V$，则$x_k^{-1}x_{k'} \in y_j V y_{j'}^{-1} \subseteq (H∩U)V$，所以$k=k'$，进而$y_j V = y_{j'} V$，即$j=j'$）。

也就是说，我们可以把$U/V$的代表元集合选成${x_k y_j}$——也就是**$U$模$(H∩U)V$的代表元与$(H∩U)/(H∩V)$的代表元的乘积**，这样就直接建立了两个代表元集合的关联：每个$U/V$的代表元都能写成一个外层分解的$x_k$乘一个内层交子群商群的$y_j$。

反过来，$(H∩U)/(H∩V)$的每个代表元$y_j$，本身也是$U/V$中陪集$y_j V$的代表元，对应到上面的分解里就是$x_k=e$（单位元）时的那部分代表元。

二、形式和的关系 #

基于上面的代表元选择方式，两个形式和的关系非常直接：
$$\sum_{x_i \in U/V} x_i = \sum_{k} x_k \cdot \left( \sum_{y_j \in H∩U/H∩V} y_j \right)$$

这个等式的逻辑很简单：我们把$U/V$的代表元按外层分解的$x_k$分组，每组的代表元就是$x_k$乘以所有的$y_j$，所以每组的和就是$x_k$乘以内层的形式和，把所有组加起来就得到了$U/V$的形式和。

如果已知$U/V$的任意一套代表元${x_i}$，我们也可以把它们按“属于$U/V$中模$(H∩U)V/V$的同一个陪集”分组，每组的代表元都能调整为某个固定$x_k$乘以$(H∩U)/(H∩V)$的代表元，每组的和依然是$x_k$乘以内层形式和，最终整体和还是能拆成上面的形式。

额外补充：用同态视角验证 #

我们可以用群同态进一步理解这个关联：考虑自然同态$\pi: U \to U/V$，把它限制在$H∩U$上得到$\pi|_{H∩U}: H∩U \to U/V$，这个同态的核是$H∩V$，根据同态基本定理：
$$(H∩U)/(H∩V) \cong \pi(H∩U) = (H∩U)V / V$$
而$\pi(H∩U)$是$U/V$的一个子群，所以$U/V$可以分解为这个子群的陪集的并，这正好对应我们之前的外层分解，子群$\pi(H∩U)$的元素就是${y_j V}$，也就是内层代表元对应的陪集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Henrique Augusto Souza