复分析自学求助：含实系数多项式的实积分等于0的证明

我来帮你梳理一下：你之前尝试用半圆围道没进展，是因为这个问题更适合用矩形围道来处理——毕竟我们的积分涉及到了平移后的复平面点 ( x+i )，矩形围道刚好能覆盖实轴和这条平移后的水平线。

首先我们先把要证的积分做个变形，先处理被积函数里的指数部分：
注意到 ( e^{-x2}e^{-2ix} = e^{-(x2 + 2ix)} = e^{-(x+i)2 + 1} )（展开 ( (x+i)^2 = x^2 + 2ix - 1 )，移项就能得到这个等式）。所以原积分可以改写为：
[
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x2}\text{Im}(e^{-2ix}p(x+i))dx = \text{Im}\left( e \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x+i)2}p(x+i)dx \right) = e \cdot \text{Im}\left( \int_{-\infty}^{\infty} f(x+i)dx \right)
]
这里用到了实数的虚部性质：( \text{Im}(k \cdot g) = k \cdot \text{Im}(g) )（因为 ( e ) 是实数），同时 ( f(z)=e^{-z2}p(z) )，所以 ( e^{-(x+i)2}p(x+i)=f(x+i) )。

接下来我们用柯西积分定理，因为 ( f(z) ) 是整函数（多项式和指数函数都是整函数，乘积自然也是），所以闭合围道的积分等于0。我们取一个矩形围道 ( C_R )，由四条边组成：

• ( C_1 ): 实轴上从 ( -R ) 到 ( R ) 的线段
• ( C_2 ): 从 ( R ) 竖直向上到 ( R+i ) 的线段
• ( C_3 ): 从 ( R+i ) 水平向左到 ( -R+i ) 的线段（也就是 ( z=x+i, x \in [-R,R] )）
• ( C_4 ): 从 ( -R+i ) 竖直向下到 ( -R ) 的线段

根据柯西积分定理：
[
\int_{C_1}f(z)dz + \int_{C_2}f(z)dz + \int_{C_3}f(z)dz + \int_{C_4}f(z)dz = 0
]

现在我们逐个分析当 ( R \to \infty ) 时各个积分的极限：

1. ( \int_{C_1}f(z)dz ) 的极限 #

当 ( R \to \infty )，这个积分就是 ( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x2}p(x)dx )——因为 ( p(x) ) 是实系数多项式，( e^{-x2} ) 是实数，所以这个积分的结果是实数，虚部为0。

2. ( \int_{C_2}f(z)dz ) 和 ( \int_{C_4}f(z)dz ) 的极限 #

先看 ( C_2 )：这里 ( z = R + iy )，( y \in [0,1] )，计算 ( z^2 = (R+iy)^2 = R^2 + 2iRy - y^2 )，所以 ( |e^{-z2}| = e^{-(R2 - y^2)} = e^{y2 - R^2} \leq e^{1 - R^2} )（因为 ( y \in [0,1] )，( y^2 \leq 1 )）。
对于多项式 ( p(z) = a_n z^n + ... + a_0 )，当 ( R ) 足够大时，( |p(z)| \leq C(R+1)^n )（( C ) 是某个常数）。
所以 ( |f(z)| = |e^{-z2}p(z)| \leq C(R+1)^n e^{1 - R^2} )，而 ( C_2 ) 的长度是1，因此：
[
\left| \int_{C_2}f(z)dz \right| \leq C(R+1)^n e^{1 - R^2} \to 0 \quad (R \to \infty)
]
同理，( C_4 ) 上的积分也会趋于0，因为 ( z=-R+iy ) 时，( |e^{-z2}|=e^{y2-R^2} \leq e^{1-R2} )，同样的估计成立。

3. ( \int_{C_3}f(z)dz ) 的极限 #

( C_3 ) 上 ( z = x + i )，( x ) 从 ( R ) 到 ( -R )，所以 ( dz = dx )，积分就是 ( -\int_{-R}^{R} f(x+i)dx )（因为积分方向是从右到左，所以是负的从左到右的积分）。当 ( R \to \infty )，这个积分的极限是 ( -\int_{-\infty}^{\infty} f(x+i)dx )。

把这些极限代入围道积分的等式，当 ( R \to \infty ) 时：
[
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx + 0 + \left( -\int_{-\infty}^{\infty} f(x+i)dx \right) + 0 = 0
]
整理一下就得到：
[
\int_{-\infty}^{\infty} f(x+i)dx = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx
]
右边的积分是实数，所以左边的积分也必然是实数——也就是说 ( \int_{-\infty}^{\infty} f(x+i)dx ) 的虚部为0。

回到最开始的原积分，它等于 ( e \cdot \text{Im}\left( \int_{-\infty}^{\infty} f(x+i)dx \right) = e \cdot 0 = 0 )，这就证明了结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Apo