求含无穷远边界条件的泛函积分最小值：欧拉-拉格朗日与贝尔特拉米应用

哈哈，你已经用贝尔特拉米恒等式拿到了最关键的守恒式，接下来就好办啦！我一步步帮你推完：

第一步：确定常数$C$ #

你得到的守恒式是：
$$- \dfrac{1}{2} y'^2 + 1 - \cos y = C$$
咱们用边界条件来定$C$：当$x\to-\infty$时，$y\to0$，而且函数在无穷远处趋于定值，导数$y'$肯定也趋近于0；同理$x\to\infty$时，$y\to2\pi$，$y'$也趋近于0。

把$y=0$、$y'=0$代入守恒式：
$$-0 + 1 - \cos0 = C \implies 1-1=C \implies C=0$$
再用$y=2\pi$、$y'=0$验证一下，结果也是$0$，完全没问题，所以$C=0$是对的。

第二步：解一阶微分方程 #

把$C=0$代入守恒式，整理一下：
$$\dfrac{1}{2} y'^2 = 1 - \cos y$$
这里用个三角恒等式$1-\cos y=2\sin^2\left(\frac{y}{2}\right)$，代入后变成：
$$\dfrac{1}{2} y'^2 = 2\sin^2\left(\frac{y}{2}\right) \implies y'^2=4\sin2\left(\frac{y}{2}\right)$$
开平方的时候，看边界条件：$y$从$-\infty$的0递增到$\infty$的$2\pi$，所以$y'$肯定是非负的，取正号：
$$y' = 2\sin\left(\frac{y}{2}\right)$$
这是个可分离变量的微分方程，把变量分开：
$$\dfrac{dy}{2\sin\left(\frac{y}{2}\right)} = dx$$
左边积分后整理就能得到$y(x)$的表达式：
$$y(x)=4\arctan\left(K e^x\right)$$
这里$K$是常数，不过不用纠结它的具体值，因为咱们最终要算的是泛函的最小值，不管$K$取多少，积分结果都一样。

第三步：计算泛函的最小值 #

现在咱们来算泛函$\mathcal{I}[y]$：
$$\mathcal{I}[y] = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \dfrac{1}{2}y'^2 + 1 - \cos y \right) dx$$
因为$C=0$，所以$\dfrac{1}{2}y'^2 = 1 - \cos y$，那被积函数就可以换成$2(1 - \cos y)$，或者直接换成$y'^2$，两种方式都能算。

我用换元法来算，因为$y'=2\sin\left(\frac{y}{2}\right)$，所以$dx=\dfrac{dy}{y'}$，积分变量从$y=0$换到$y=2\pi$：
$$\mathcal{I}[y] = \int_{0}^{2\pi} y'^2 \cdot \dfrac{dy}{y'} = \int_{0}^{2\pi} y' dy$$
代入$y'$的表达式：
$$\int_{0}^{2\pi} 2\sin\left(\frac{y}{2}\right) dy = 2 \times \left[ -2\cos\left(\frac{y}{2}\right) \right]_0^{2\pi}$$
计算上下限：
$$2\times\left[ -2\cos(\pi) + 2\cos(0) \right] = 2\times\left[ 2 + 2 \right] = 8$$
所以泛函的最小值就是8！

验证一下（可选） #

如果你不放心，代入$y(x)=4\arctan(e^x)$直接计算积分，结果也是8，完全一致，说明咱们算对啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者backstrapp