求助：如何证明当k足够大时的乘积近似等式成立

这题核心是利用斯特林公式（针对大n的阶乘近似）来化简乘积项，我一步步给你拆解：

• 第一步：化简乘积项
  先把乘积里的分式展开：
  $$\prod_{n=1}^{k-2} \left(1+\frac{1}{2n}\right) = \prod_{n=1}^{k-2} \frac{2n+1}{2n}$$
  这是分子为连续奇数、分母为连续偶数的连乘，我们可以用双阶乘来表示：分子是$(2(k-2)+1)!!$，分母是$(2(k-2))!!$。

• 第二步：双阶乘转普通阶乘
  回忆双阶乘和普通阶乘的转换关系：

  • 偶数双阶乘：$(2m)!! = 2^m m!$
  • 奇数双阶乘：$(2m+1)!! = \frac{(2m+1)!}{2^m m!}$
    这里令$m=k-2$，代入后乘积就变成：
    $$\frac{(2k-3)!}{4^{k-2} ((k-2)!)^2}$$

• 第三步：代入原式并整理
  把这个结果代入原题的表达式，得到：
  $$\frac{1}{2k} \cdot \frac{1}{2(k-1)} \cdot \frac{(2k-3)!}{4^{k-2} ((k-2)!)^2} = \frac{(2k-3)!}{4^{k-1} k(k-1) ((k-2)!)^2}$$

• 第四步：用斯特林公式近似阶乘
  当k足够大时，我们用斯特林公式$n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$来近似所有阶乘项。重点处理大k时的渐近近似：

  • 忽略低阶项：$2k-3 \approx 2k$，$k-1 \approx k$，$k-2 \approx k$
  • 指数项用$(1+\frac{a}{n})^n \approx e^a$简化，会发现$e$相关的项最终会约掉

• 第五步：最终化简得到结果
  把所有近似代入后整理，就能得到：
  $$\frac{1}{2k}\frac{1}{2(k-1)} \prod_{n=1}^{k-2} \left(1+\frac 1 {2n}\right)\approx \frac 1 {2\sqrt{\pi}k^{3/2}}$$

另外，你也可以用对数积分近似的思路：对乘积取自然对数，把连乘转成求和，再用积分近似求和的结果，最终也能得到相同的结论，不过斯特林公式的方法更直接高效。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eugene