请求证明一般线性群GL(V)是群并解答相关疑问

嗨，完全懂你久未碰代数觉得这玩意儿抽象的感觉！咱们一步步拆这个证明——群的定义要满足四个核心条件：封闭性、结合律、存在单位元、每个元素都有逆元，咱们挨个对应验证就好：

1. 封闭性 #

首先得确认：两个属于GL(V)的双射线性变换，复合之后还在GL(V)里。
假设T₁, T₂ ∈ GL(V)，也就是它们都是双射线性变换：

• 线性性验证：对任意v₁, v₂ ∈ V和域中的标量k，(T₁∘T₂)(kv₁ + v₂) = T₁(T₂(kv₁ + v₂)) = T₁(kT₂(v₁)+T₂(v₂)) = kT₁(T₂(v₁)) + T₁(T₂(v₂)) = k(T₁∘T₂)(v₁) + (T₁∘T₂)(v₂)，完全满足线性变换的定义。
• 双射性验证：两个双射函数的复合必然还是双射（单射加单射是单射，满射加满射是满射），所以T₁∘T₂也是双射线性变换，属于GL(V)。封闭性搞定。

2. 结合律 #

你说的太对了！结合律其实不用额外证——函数复合本身就满足结合律，线性变换本质是函数，自然继承这个性质：
对任意T₁,T₂,T₃∈GL(V)，任意v∈V，都有(T₁∘(T₂∘T₃))(v) = T₁(T₂(T₃(v)))，而((T₁∘T₂)∘T₃)(v) = T₁(T₂(T₃(v)))，两者完全相等，所以结合律成立。

3. 单位元的存在性 #

这就是你问的核心点啦，其实非常直观：咱们找恒等线性变换I_V，它的定义超级简单——对所有v∈V，I_V(v) = v。

• 先确认它属于GL(V)：线性性显然（I_V(kv₁+v₂)=kv₁+v₂=kI_V(v₁)+I_V(v₂)）；单射（如果I_V(v₁)=I_V(v₂)，那直接就是v₁=v₂）；满射（每个v∈V都能被自己映射到），所以I_V是双射线性变换，属于GL(V)。
• 再验证它是单位元：对任意T∈GL(V)，(T∘I_V)(v)=T(I_V(v))=T(v)，(I_V∘T)(v)=I_V(T(v))=T(v)，所以T∘I_V = I_V∘T = T，完美满足单位元的要求。

4. 逆元的存在性 #

你猜的没错！GL(V)里的元素都是双射，双射函数必然有逆函数，咱们只要证明这个逆函数也是线性变换就行：
假设T∈GL(V)，T⁻¹是它的逆函数（满足T∘T⁻¹=I_V，T⁻¹∘T=I_V）。现在证T⁻¹是线性的：
对任意u₁,u₂∈V和标量k，因为T是满射，肯定存在v₁,v₂∈V使得T(v₁)=u₁，T(v₂)=u₂。那：
T⁻¹(ku₁ + u₂) = T⁻¹(kT(v₁)+T(v₂)) = T⁻¹(T(kv₁ + v₂)) = kv₁ + v₂ = kT⁻¹(u₁) + T⁻¹(u₂)，完全符合线性性。
而且T⁻¹本身是双射（逆函数的性质），所以它也是双射线性变换，属于GL(V)，同时满足逆元的定义。

四个条件全部满足，所以GL(V)在复合运算下是群啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bad at algebra and proofs