求二次式5ab-2a²-3b²的值：含公共根的二次方程求解咨询

嘿，你已经迈出了第一步，但看起来消元时可能有点小失误，咱们重新梳理下，一步步得到最终结果：

步骤1：利用公共根的性质建立等式 #

设两个方程的公共根为$\alpha$，那么$\alpha$同时满足两个方程：

$3\alpha^2 + a\alpha + 1 = 0$ --- (1)
$2\alpha^2 + b\alpha + 1 = 0$ --- (2)

步骤2：消去$\alpha^2$项，求出公共根$\alpha$ #

用(1)-(2)可以快速简化：
3α² +aα +1 - (2α² +bα +1) = 0
展开合并后得到：
α² + (a - b)α = 0
提取公因式$\alpha$得：$\alpha(\alpha + a - b) = 0$。
但$\alpha=0$代入原方程不成立（左边=1≠0），因此公共根为：$\alpha = b - a$，这个形式更方便后续计算。

步骤3：将公共根代入原方程，建立a和b的关系 #

把$\alpha = b - a$代入方程(2)（代入方程(1)结果一致）：
2*(b - a)^2 + b*(b - a) + 1 = 0
展开并计算：
2*(b² - 2ab + a²) + b² - ab + 1 = 0
2b² - 4ab + 2a² + b² - ab + 1 = 0
合并同类项后整理得：
5ab = 2a² + 3b² + 1

步骤4：计算目标式子的值 #

我们要求的是$5ab - 2a^2 - 3b^2$，把上面得到的5ab = 2a² + 3b² + 1代入：
5ab - 2a² - 3b² = (2a² + 3b² + 1) - 2a² - 3b² = 1

这样就得到最终结果啦，是不是很清晰？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user532267