流形光滑映射横截性等价性证明疑问：f⊷g⁻¹(W)定义困惑

咱们先把问题背景理清楚：给定流形间的光滑映射链 $X\xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z$，而且已知 $g$ 和 $Z$ 的子流形 $W$ 是横截的——也就是满足：
$$\forall y \in g^{-1}(W), \text{im}d_yg + T_{g(y)}W = T_{g(y)}Z$$
（这里悄悄修正了你原句里的切空间下标，应该是$g(y)$点的切空间，因为$y$在$g^{-1}(W)$里，$g(y)$落在$W$上）

我们要证的是：$f\pitchfork g^{-1}(W)$ 和 $g\circ f \pitchfork W$ 这两个条件是等价的，先从你疑惑的第一个方向开始，先明确**$f \pitchfork g^{-1}(W)$到底是什么意思**。

先搞懂 $f \pitchfork g^{-1}(W)$ 的定义 #

首先回忆映射与子流形横截的核心定义：如果映射 $h: M \to N$ 和 $N$ 的子流形 $S$ 横截，当且仅当对每一个满足 $h(p) \in S$ 的点 $p \in M$，切空间满足直和条件：$\text{im}d_ph + T_{h(p)}S = T_{h(p)}N$。

放到咱们的问题里，$g^{-1}(W)$ 是 $Y$ 的子流形（这是横截原像定理的结论，因为$g$和$W$横截，所以原像也是子流形），那么 $f \pitchfork g^{-1}(W)$ 的意思就是：

对所有满足 $f(x) \in g^{-1}(W)$ 的点 $x \in X$（也就是$(g\circ f)(x) \in W$的那些$x$），都有 $\text{im}d_xf + T_{f(x)}(g^{-1}(W)) = T_{f(x)}Y$

证明正向推导：$f\pitchfork g^{-1}(W) \implies g\circ f \pitchfork W$ #

我们的目标是验证：对任意 $x \in (g\circ f)^{-1}(W)$（也就是$f(x) \in g^{-1}(W)$），满足 $\text{im}d_x(g\circ f) + T_{(g\circ f)(x)}W = T_{(g\circ f)(x)}Z$。

第一步，用链式法则：$d_x(g\circ f) = d_{f(x)}g \circ d_xf$，所以 $\text{im}d_x(g\circ f) = d_{f(x)}g(\text{im}d_xf)$。

现在我们有两个已知条件可以用：

1. $g$ 与 $W$ 横截：对 $y = f(x) \in g^{-1}(W)$，$\text{im}d_yg + T_{g(y)}W = T_{g(y)}Z$（这里$g(y)=(g\circ f)(x)$）
2. $f$ 与 $g^{-1}(W)$ 横截：对这个$x$，$\text{im}d_xf + T_y(g^{-1}(W)) = T_yY$，其中$y=f(x)$

另外还有个关键的切空间性质：因为$g$和$W$横截，$T_y(g^{-1}(W)) = (d_yg)^{{-1}(T_{g(y)}W)$——也就是说，$y$点处$g}{-1}(W)$的切向量，被$d_yg$映射后会落在$W$在$g(y)$点的切空间里。

现在要证的是 $\text{im}(d_yg \circ d_xf) + T_{g(y)}W = T_{g(y)}Z$。结合条件1，我们只需要证明：$\text{im}d_yg \subseteq \text{im}(d_yg \circ d_xf) + T_{g(y)}W$。

怎么证呢？任取一个向量 $v \in \text{im}d_yg$，那必然存在 $u \in T_yY$ 使得 $d_yg(u)=v$。根据条件2，$u$可以拆成两个向量的和：$u = u_1 + u_2$，其中$u_1 \in \text{im}d_xf$，$u_2 \in T_y(g^{-1}(W))$。

把这个拆分代入$v$的表达式：
$$v = d_yg(u) = d_yg(u_1) + d_yg(u_2)$$
其中，$d_yg(u_1)$ 属于 $\text{im}(d_yg \circ d_xf)$（因为$u_1$是$d_xf$的像），而$d_yg(u_2)$属于$T_{g(y)}W$（根据刚才说的切空间性质）。所以$v$是这两个子空间里向量的和，也就是$v \in \text{im}(d_yg \circ d_xf) + T_{g(y)}W$。

这样就证明了$\text{im}d_x(g\circ f) + T_{(g\circ f)(x)}W = T_{(g\circ f)(x)}Z$，也就是$g\circ f \pitchfork W$啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者bphi