如何证明一个物理量是否为张量？附具体验证示例

要判断一个量是不是张量，核心就一条：看它在任意坐标变换下是否严格遵循张量的变换规则。先明确基础概念：假设$A^{{ij}_k$是一个三阶张量（2个逆变上标、1个协变下标），坐标变换为$x'}a = x'^a(xb)$，逆变换为$x^b = x^b(x'a)$，我们把变换的偏导数简记为：

• $\Lambda^a_b = \frac{\partial x'^a}{\partial x^b}$（逆变坐标变换系数）
• $\Lambda_b^a = \frac{\partial x^a}{\partial x'^b}$（协变坐标变换系数）

一、证明$A^{ij}_j$满足张量变换特性（实际为一阶逆变张量） #

首先，三阶张量$A^{ij}_k$的变换规则是：
$$A'^{ab}_c = \Lambda^a_m \Lambda^b_n \Lambda^p_c A^{mn}_p$$

我们对重复的下标$b$求和（爱因斯坦求和约定），得到$A'^{ab}_b$：
$$A'^{ab}_b = \Lambda^a_m \Lambda^b_n \Lambda^p_b A^{mn}_p$$

这里关键的一步是利用链式法则：$\Lambda^b_n \Lambda^p_b = \frac{\partial x'^b}{\partial x^n} \frac{\partial x^p}{\partial x'^b} = \frac{\partial x^p}{\partial x^n} = \delta^p_n$（克罗内克函数，当$p=n$时为1，否则为0）。把这个代入上式：
$$A'^{ab}_b = \Lambda^a_m \cdot \delta^p_n \cdot A^{mn}_p = \Lambda^a_m A^{mn}_n$$

而$A^{{mn}_n$就是原坐标系下的$A}{ij}j$（指标名称只是符号，不影响结果），所以最终得到：
$$A'^{a}{\text{(sum)}} = \Lambda^a_m A^{m}_{\text{(sum)}}$$

这完全符合一阶逆变张量的变换规则——如果您说的“二阶张量”是笔误的话，这个推导就成立；如果是其他形式的指标组合，您可以补充说明细节。

二、证明$A^{ii}_j$不是张量 #

同样从三阶张量$A^{{ij}_k$的变换规则出发，我们计算$A'}{aa}_b$（对重复的上标$a$求和）：
$$A'^{aa}_b = \Lambda^a_m \Lambda^a_n \Lambda^p_b A^{mn}_p$$

这里注意：$\Lambda^a_m \Lambda^a_n = \frac{\partial x'^a}{\partial x^m} \frac{\partial x'^a}{\partial x^{n}$，这个式子是坐标变换矩阵的转置与自身的乘积分量，**它不等于克罗内克函数$\delta}m_n$——只有正交变换（比如笛卡尔坐标系的旋转）下才会等于，但张量的变换规则必须对任意坐标变换**都成立，而这个乘积在一般变换下不是delta函数。

如果$A^{ii}j$是张量，它作为一阶协变张量的变换规则应该是：
$$A'{b} = \Lambda^p_b A_{p}$$
其中$A_p = A^{{ii}_p$。但我们实际推导出来的$A'}{aa}_b$包含$\Lambda^a_m \Lambda^{a_n$这个额外项，无法简化成$\Lambda}p_b A^{{ii}_p$的形式。这就说明$A}{ii}_j$不满足张量的变换规则，因此它不是张量。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DDDAD