复数列极限的等价定义正确性确认问询

设$(a_n){n\geq 1}$是复数列，$a\in \mathbb{C}$。众所周知，若满足语句$$\forall \epsilon>0\exists N\in \mathbb{N}:(n\geq N\implies |a_n-a|<\epsilon)$$，则定义$\lim{n\to \infty}a_n=a$。我在诸多涉及极限的证明中积累了经验，认为下述语句与该定义等价，特请求确认：$$\forall \epsilon>0\exists N\in \mathbb{N}:(n\geq N\implies |a_n-...$$

嘿，看起来你要写的等价语句没写完呀！不过根据平时做极限证明时常见的等价变形，我给你分析几种最典型的情况，你可以对照看看是不是你想表达的：

• 将严格小于改为小于等于
  对应的语句是：
  $$\forall \epsilon>0\exists N\in \mathbb{N}:(n\geq N\implies |a_n-a|\leq \epsilon)$$
  这个和原定义完全等价，证明很直观：

  1. 从原定义推这个：如果对任意$\epsilon>0$，都能找到$N$使得$n\geq N$时$|a_n-a|<\epsilon$，那显然$|a_n-a|\leq \epsilon$肯定成立；
  2. 从这个推原定义：对任意$\epsilon>0$，我们取$\epsilon'=\frac{\epsilon}{2}>0$，根据这个语句，存在$N$使得$n\geq N$时$|a_n-a|\leq \epsilon'=\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$，这就满足原定义的要求了。

• 用任意正常数缩放$\epsilon$
  比如语句是（其中$k>0$是固定常数）：
  $$\forall \epsilon>0\exists N\in \mathbb{N}:(n\geq N\implies |a_n-a|<k\epsilon)$$
  这也和原定义等价：

  1. 原定义推这个：对任意$\epsilon>0$，我们在原定义里取$\epsilon''=k\epsilon$，原定义会给出对应的$N$，使得$n\geq N$时$|a_n-a|<\epsilon''=k\epsilon$，刚好符合这个语句；
  2. 这个推原定义：对任意$\epsilon>0$，取$\epsilon'''=\frac{\epsilon}{k}$，根据这个语句，存在$N$使得$n\geq N$时$|a_n-a|<k\epsilon'''=\epsilon$，满足原定义。

• 将$n\geq N$改为$n>N$
  对应的语句是：
  $$\forall \epsilon>0\exists N\in \mathbb{N}:(n>N\implies |a_n-a|<\epsilon)$$
  同样等价，因为自然数$N$可以灵活调整——如果原定义里有$N$满足$n\geq N$时成立，那取$N'=N-1$就能满足$n>N'$时成立；反过来也一样，取$N'=N+1$就能转换回$n\geq N'$的形式。

总的来说，只要你的语句是对原定义做不改变“任意小精度控制”核心的变形，基本都是等价的。如果你的等价语句是其他形式，补全后我可以再帮你精准确认~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Hopeless