关于“连通空间的积空间仍连通”证明的两个问题

嘿，咱们来拆解你关于“两个连通拓扑空间的乘积仍连通”这个证明的疑问。首先先把完整的证明逻辑理清楚，再针对你提到的两个问题逐一解释：

完整证明梳理 #

已知$X$和$Y$是连通拓扑空间，要证明$X\times Y$连通，核心思路是：只要空间中任意两点都属于同一个连通子集，那整个空间就是连通的。

取$X\times Y$里任意两点$p=(x_1,y_1)$和$q=(x_2,y_2)$：

• 首先，${x_1}\times Y$和$Y$同胚（映射$f(y)=(x_1,y)$就是同胚映射），而$Y$是连通的，所以${x_1}\times Y$是连通子集；同理，$X\times{y_2}$和$X$同胚，也是连通子集。
• 这两个子集的交集是${(x_1,y_2)}$，显然非空。根据拓扑里的一个关键结论：如果两个连通子集有非空交集，它们的并集也是连通的。所以${x_1}\times Y \cup X\times{y_2}$是连通的。
• 你看，$p=(x_1,y_1)$在${x_1}\times Y$里，$q=(x_2,y_2)$在$X\times{y_2}$里，所以这俩点都在这个连通子集里，说明它们属于同一个连通分支。
• 既然任意两点都在同一个连通分支里，那整个$X\times Y$就只有一个连通分支，自然是连通空间了。

针对你提到的两个疑问的解答 #

假设你纠结的是下面这两个常见问题，我给你讲明白：

疑问1：为什么两个有交集的连通子集的并集一定连通？ #

咱们用反证法来理解：假设$A\cup B$不连通，那它就能拆成两个不相交的非空开集$U$和$V$的并（即$A\cup B = U\cup V$，$U\cap V=\emptyset$，且$U,V$在$A\cup B$中是开集）。

因为$A$是连通的，$A$要么全在$U$里，要么全在$V$里（要是$A$同时有部分在$U$部分在$V$，那$A$就不连通了，矛盾）；同理$B$也要么全在$U$要么全在$V$里。但$A$和$B$有交集，比如交点$z\in A\cap B$，那$z$既在$A$又在$B$，所以$A$和$B$必须都在同一个开集里（比如都在$U$），那$V$就只能是空集，这和假设矛盾。所以$A\cup B$肯定是连通的。

疑问2：为什么任意两点在同一个连通子集，就能推出整个空间连通？ #

连通空间的等价定义之一是：空间只有一个连通分支（连通分支是包含某点的最大连通子集）。如果任意两点都能找到一个连通子集把它们包含进去，那这个子集必然属于它们共同的连通分支，也就是说所有点都在同一个连通分支里，整个空间自然就是连通的了。

如果你的两个疑问不是这两个，随时补充具体的困惑点，我再帮你细化解释~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user486983