紧集投影技术问询：拓扑空间中B[C]是否为紧集

嘿，咱们一步步来拆解这个拓扑学问题：

已知条件梳理 #

• $X$ 和 $X'$ 是任意拓扑空间
• $B \subseteq X \times X'$ 是乘积拓扑下的紧子集
• $C \subseteq X$ 是紧子集（不假设$C$是闭集）
• 目标集合：$B[C] = { b \in X' \mid \exists a \in C, (a,b) \in B }$，需要证明它是$X'$中的紧集

核心思路 #

正如提示所说，$B[C]$ 可以表示为投影映射 $\pi_2$ 作用在集合 $(C \times X') \cap B$ 上的像，即：
$$B[C] = \pi_2\left[(C \times X') \cap B\right]$$
连续映射的一个关键性质是紧集在连续映射下的像仍然是紧集，所以我们只需要先证明 $(C \times X') \cap B$ 是 $X \times X'$ 中的紧子集即可。

步骤1：证明 $(C \times X') \cap B$ 是紧集 #

我们用网的聚点性质来推导（紧集的等价定义：一个集合是紧的当且仅当其中的每个网都有聚点在该集合内）：

1. 取 $(C \times X') \cap B$ 中的任意一个网 ${(c_\alpha, x'\alpha)}$，其中每个 $c\alpha \in C$，且 $(c_\alpha, x'_\alpha) \in B$。
2. 因为 $B$ 是紧集，这个网在 $B$ 中必有一个聚点 $(a, b) \in B$。
3. 单独看网的第一个分量 ${c_\alpha}$：它是紧集 $C$ 中的网，根据紧集的网性质，${c_\alpha}$ 必有一个聚点 $a \in C$（这里注意，$C$ 作为子空间是紧的，所以其内部的网的聚点必然落在 $C$ 中，不管 $X$ 是不是豪斯多夫空间）。
4. 结合聚点的定义：$(a, b)$ 是 ${(c_\alpha, x'\alpha)}$ 的聚点，意味着 $a$ 是 ${c\alpha}$ 的聚点，而我们已经确认 $a \in C$，同时 $(a, b) \in B$，因此 $(a, b) \in (C \times X') \cap B$。

这就说明 $(C \times X') \cap B$ 中的每个网都有聚点在自身内部，因此它是紧集。

步骤2：证明 $B[C]$ 是紧集 #

投影映射 $\pi_2: X \times X' \to X'$ 是连续映射（乘积拓扑的定义直接保证了投影映射的连续性）。既然 $(C \times X') \cap B$ 是紧集，那么它在 $\pi_2$ 下的像 $B[C]$ 必然是 $X'$ 中的紧集。

结论 #

综上，不管 $C$ 是否为 $X$ 中的闭集，只要 $C$ 是紧集、$B$ 是乘积空间的紧子集，那么 $B[C]$ 一定是 $X'$ 中的紧集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Math Student 020