含两个正自然数参数的三角不等式求解思路求助

嘿，我来帮你用完全不用导数的方法搞定这个三角不等式！你之前试了归纳法没进展，大概率是没找对变形方向，咱们一步步来：

首先，先把原不等式换个更直观的形式。令 $\theta = \frac{\pi}{mn}$，那么 $\frac{\pi}{n} = m\theta$，原不等式就变成了：
$$\sin\theta \geq \frac{1}{m}\sin(m\theta)$$
其中 $m,n$ 是正整数，且 $m\theta = \frac{\pi}{n} \leq \pi$（因为 $n \geq 1$），所以 $0 < \theta \leq \frac{\pi}{m}$。现在问题转化为：对任意正整数 $m$ 和满足 $0 < m\theta \leq \pi$ 的 $\theta$，证明 $\sin(m\theta) \leq m\sin\theta$——是不是感觉清晰多了？

接下来咱们用数学归纳法来证明这个转化后的不等式：

• 基础情况（$m=1$）：
  左边是 $\sin(1\cdot\theta) = \sin\theta$，右边是 $1\cdot\sin\theta$，等式成立，满足不等式。

• 归纳假设：
  假设当 $m=k$（$k$ 是正整数）时，不等式 $\sin(k\theta) \leq k\sin\theta$ 成立，其中 $0 < k\theta \leq \pi$。

• 归纳递推（$m=k+1$）：
  我们需要证明 $\sin((k+1)\theta) \leq (k+1)\sin\theta$。首先利用正弦的和角公式展开左边：
  $$\sin((k+1)\theta) = \sin(k\theta + \theta) = \sin(k\theta)\cos\theta + \cos(k\theta)\sin\theta$$
  因为 $(k+1)\theta \leq \pi$，所以 $k\theta = (k+1)\theta - \theta \leq \pi - \theta < \pi$，而 $\cos(k\theta) \leq 1$（余弦函数在 $(0,\pi)$ 区间的值都小于等于1，且仅当 $k\theta=0$ 时取等，但这里 $k\theta>0$）。结合归纳假设 $\sin(k\theta) \leq k\sin\theta$，代入上式可得：
  $$\sin((k+1)\theta) \leq k\sin\theta \cdot \cos\theta + 1 \cdot \sin\theta$$
  又因为 $\cos\theta \leq 1$（$\theta>0$ 且 $\theta \leq \frac{\pi}{k+1} < \pi$），所以 $k\sin\theta \cdot \cos\theta \leq k\sin\theta$，进一步推导：
  $$\sin((k+1)\theta) \leq k\sin\theta + \sin\theta = (k+1)\sin\theta$$
  这样就完成了归纳递推，说明对所有正整数 $m$，不等式都成立。

最后把这个结果代回原变量，就能得到你最初的不等式：
$$\sin\left(\frac{\pi}{mn}\right) \geq \frac{1}{m}\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$$

等号成立的条件也很明确：只有当 $m=1$ 时，归纳过程中的所有等号才能同时取到，其他情况下都是严格大于。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Radu Andrei