n个独立样本中事件至少发生x次的概率公式是否正确？

嘿，先给你吃个定心丸：你已经推导的恰好a个样本满足标准的概率公式是完全正确的，这正是统计学里二项分布的概率质量函数（PMF）。不过有个小细节需要补全，再给你明确「至少x个样本满足」的通用公式：

先修正+确认已完成的推导 #

你写的恰好1个样本满足的概率漏了组合数$\binom{n}{1}$，这是个关键细节——从n个样本里挑出1个满足标准，有n种不同的选法，所以正确的推导应该是：

• 恰好0个样本满足的概率：$$P(0) = (1-p)^{n}$$
• 恰好1个样本满足的概率：$$P(1) = \binom{n}{1}p^1(1-p){n-1}$$
• 恰好a个样本满足的概率：$$P(a) = \binom{n}{a}p^a(1-p){n-a}$$

这个修正后的恰好a个的公式是完全正确的，没问题～

「至少x个样本满足」的通用公式 #

「至少有x个样本满足」，说白了就是满足的样本数可以是x、x+1、x+2……一直到n，所以对应的概率就是这些情况的概率加起来，公式如下：
$$P(\text{至少}x\text{个满足}) = \sum_{a=x}^{n} \binom{n}{a}p^a(1-p){n-a}$$

另外，有时候为了计算方便（比如x很小的时候），我们可以用1减去「最多x-1个样本满足」的概率来间接计算，这样会少算很多项：
$$P(\text{至少}x\text{个满足}) = 1 - \sum_{a=0}^{x-1} \binom{n}{a}p^a(1-p){n-a}$$

举个例子，比如你要算「至少2个满足」的概率，就可以直接用$1 - P(0) - P(1)$，比从a=2加到a=n要简单多啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user289661