关于乘积空间[0,1)×(0,1]的拓扑及投影映射闭集性质的技术问询

首先得说，你的逆向思路完全站得住脚！要说明投影不总是把闭集映成闭集，反过来从“想要得到一个非闭的投影集”倒推乘积空间里的闭集，这个思考方向非常高效，很多拓扑反例都是这么来的。

最经典的反例，直接验证你的思路 #

我们取最熟悉的实数空间$X = Y = \mathbb{R}$（装备通常的欧几里得拓扑），构造乘积空间$\mathbb{R}^2$里的闭集：
$$C = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy = 1}$$
为什么$C$是闭集？因为它是连续函数$f(x,y) = xy - 1$的零点集——连续函数的零点集在拓扑空间里一定是闭集，这是拓扑里的基本结论。

现在看投影到$X$的映射$p_X: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$，把$(x,y)$映成$x$。那$p_X(C)$是什么？就是所有满足“存在$y$使得$xy=1$”的$x$，也就是$\mathbb{R} \setminus {0}$。显然，$\mathbb{R} \setminus {0}$在$\mathbb{R}$里不是闭集，因为0是它的极限点，但0不在这个集合里。完美命中你要的反例！

关于你提到的“闭乘积空间投影到clopen集”的思路 #

这里得给你提个醒：clopen集（既开又闭的集合）本身就是闭集，所以如果你的投影结果是clopen集，那这个例子其实只能说明“投影把闭集映成闭集”，没法用来做反例。不过这个思路用来理解乘积拓扑的性质还是很有用的：

• 如果因子空间是离散拓扑（所有子集都是clopen集），那投影映射确实会把任何闭集都映成闭集（因为离散空间里所有子集都是闭的）。
• 但如果因子空间不是离散的，比如$\mathbb{R}$，那clopen集只有全空间和空集，这时候你想找投影到clopen集的闭乘积子集，其实意义不大，因为全空间和空集本身就是闭的。

用区间生成的乘积空间例子，帮你理解拓扑性质 #

假设我们取$X = [0, 1]$（闭区间，通常拓扑），$Y = [0, 1)$（半开区间，作为$\mathbb{R}$的子空间），构造乘积空间$X \times Y$里的闭集：
$$C' = {(1 - 1/n, 1/n) \mid n \in \mathbb{N}}$$
先验证$C'$是闭集：它没有极限点，每个点都是孤立的——因为$X$里的$1-1/n$是离散的点，对应的$Y$里的$1/n$也是离散的，所以在乘积拓扑里，每个点都能找到不包含其他点的邻域，因此$C'$是闭集。

现在看投影到$Y$的映射$p_Y$，$p_Y(C') = {1/n \mid n \in \mathbb{N}}$，这个集合在$Y$里不是闭集——因为0是它的极限点，但0不在${1/n}$里，完美符合你要的“投影不保持闭集”的情况。

总结你的思路 #

你的逆向推导方向是对的，核心就是找到乘积空间里的闭集，其投影在因子空间中存在极限点不在投影集内。这类反例的关键在于利用因子空间的非紧致性（比如$\mathbb{R}$不是紧致的，$[0,1)$也不是紧致的）——因为如果因子空间是紧致的，那投影映射会把闭集映成闭集（这是紧致空间的一个重要性质）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者innumeratus