为何商群定义中要求子群N必须是正规子群？

这问题问到点子上了！商群的本质是把原群G里“模N等价”的元素打包成一个整体，让这个打包后的集合也成为一个群。而要求N是正规子群，就是为了让这个“打包后的乘法”能良定义（不会因为选了不同的代表元得到不同结果），具体来说：

核心问题：陪集乘法的良定义性 #

我们想给商集G/N（所有N的陪集构成的集合）定义乘法：aN * bN = (ab)N。这个定义看起来很直观，但陪集的代表元不是唯一的——比如aN里的任何元素an（n∈N）都可以当代表元，bN同理。

如果N不是正规子群，就会出问题：

• 假设我们换代表元：用an代替a，bm代替b（n,m∈N），那按乘法定义应该得到(anbm)N。我们需要这个结果和(ab)N是同一个陪集，否则乘法就“没谱”了。
• 展开计算：(anbm)N = ab(b⁻¹nb)mN。因为m∈N，mN=N，所以式子简化为ab(b⁻¹nb)N。要让它等于(ab)N，就必须满足b⁻¹nb ∈ N对所有b∈G、n∈N成立——而这恰恰就是正规子群的定义！

另一个视角：左/右陪集的一致性 #

正规子群还有个等价条件：对任意a∈G，左陪集aN和右陪集Na完全相等。

• 如果N不是正规子群，左陪集和右陪集就不一样，这时候你甚至没法确定是按左陪集还是右陪集来定义商集——两种定义会得到不同的集合，更别说构成群了。
• 只有当左/右陪集一致时，商集的乘法才不会有歧义，才能顺利继承原群的运算性质（结合律、单位元、逆元这些）。

举个直观的反例 #

拿对称群S₃来说，它的子群H={e, (12)}不是正规子群：

• 左陪集：eH=H，(13)H={(13), (132)}，(23)H={(23), (123)}
• 右陪集：He=H，H(13)={(13), (123)}，H(23)={(23), (132)}
  你会发现左陪集(13)H和右陪集H(13)完全不同。如果强行定义乘法：
• 用代表元(13)和(23)计算：(13)H * (23)H = (13)(23)H = (123)H
• 换代表元(132)（属于(13)H）和(123)（属于(23)H）计算：(132)(123)H = eH = H
  同一个“陪集乘法”得到了两个不同的结果，这显然没法构成群——这就是N不正规的后果。

总结 #

要求N是正规子群，本质是为了保证陪集乘法的良定义性，让商集G/N能成为一个真正的群，继承原群G的运算结构。如果N不正规，陪集乘法会依赖代表元的选择，商集根本没法满足群的公理。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user275490