pq阶非循环群存在条件探讨及p≡1 mod q时的构造可行性问询

这是群论里很经典的一个问题，咱们一步步拆解来看：

已知结论回顾 #

设 ( p>q ) 是两个素数，( G ) 是 ( pq ) 阶群。通过多次应用Sylow定理可以得到：

• 当 ( p \not\equiv 1 \pmod{q} ) 时，( G ) 必为循环群。

核心问题解答：当 ( p \equiv 1 \pmod{q} ) 时，总能构造非循环群 #

答案是肯定的，我们可以利用Sylow子群的性质来构造这个非循环群，具体步骤如下：

• 首先，取 ( G ) 的Sylow ( p )-子群 ( P ) 和Sylow ( q )-子群 ( Q )。因为 ( p )、( q ) 都是素数，所以 ( P ) 和 ( Q ) 本身都是循环群（素数阶群必循环），比如设 ( P = \langle a \rangle )（( a ) 的阶为 ( p )），( Q = \langle b \rangle )（( b ) 的阶为 ( q )）。
• 根据Sylow定理：
  • Sylow ( p )-子群的个数 ( n_p ) 满足 ( n_p \equiv 1 \pmod{p} ) 且 ( n_p \mid pq )，由于 ( p>q )，( n_p ) 只能是1，也就是说 ( P ) 是 ( G ) 的正规子群。
  • Sylow ( q )-子群的个数 ( n_q ) 满足 ( n_q \equiv 1 \pmod{q} ) 且 ( n_q \mid pq )，结合 ( p \equiv 1 \pmod{q} )，( n_q ) 只能是 ( p )（若 ( n_q=1 ) 则 ( Q ) 正规，此时 ( G=P \times Q ) 是循环群，不符合我们的需求）。
• 接下来构造半直积：因为 ( P ) 正规，我们可以构造 ( P ) 和 ( Q ) 的半直积 ( G = P \rtimes_\varphi Q )，其中 ( \varphi: Q \to \text{Aut}(P) ) 是一个非平凡的群同态。
  • 由于 ( P ) 是 ( p ) 阶循环群，( \text{Aut}(P) \cong \mathbb{Z}_p^* )（( p ) 阶乘法群），它的阶是 ( p-1 )。因为 ( p \equiv 1 \pmod{q} )，所以 ( q \mid p-1 )，这意味着 ( \text{Aut}(P) ) 中存在 ( q ) 阶元素。
  • 取这个 ( q ) 阶元素作为 ( \varphi(b) )，即 ( \varphi(b)(a) = a^k )，其中 ( k ) 满足 ( k^q \equiv 1 \pmod{p} ) 且 ( k \not\equiv 1 \pmod{p} )。
• 这样构造出的群 ( G )，元素可表示为 ( a^i b^j )（( 0 \leq i < p, 0 \leq j < q )），运算规则为 ( ba = a^k b )。它显然不是循环群：如果 ( G ) 是循环群，那么它的所有Sylow子群都应该是唯一的，但这里 ( n_q=p ) 存在 ( p ) 个不同的Sylow ( q )-子群，矛盾。

结论 #

综上，当且仅当 ( p \equiv 1 \pmod{q} ) 时，存在 ( pq ) 阶非循环群，且可以通过上述半直积的方式构造得到。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Akababa