指数分布函数的反常积分与矩生成函数：X²+Y²的矩生成函数求解

最近我在尝试求解随机变量$X^2 + Y^2$的矩生成函数，其中$X \sim Exp(\lambda)$，$Y \sim Exp(2\lambda)$，且二者相互独立。我的思路是先分别推导出$X^2$和$Y2$的概率密度函数，再利用独立随机变量和的矩生成函数核心性质——$M_{X_1+X_2}(t) = M_{X_1}(t) \cdot M_{X_2}(t)$ 来完成计算，推导过程如下：

步骤1：推导$X^2$的概率密度函数 #

设$Z = X^2$，由于指数分布的取值始终非负，因此$X = \sqrt{Z}$（无需考虑负根）。根据连续型随机变量的变量替换公式：
$$
f_Z(z) = f_X(\sqrt{z}) \left| \frac{dx}{dz} \right|
$$

已知$X$的指数分布密度为$f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x} \ (x>0)$，对$x = \sqrt{z}$求导可得$\frac{dx}{dz} = \frac{1}{2\sqrt{z}}$，代入公式后得到：
$$
f_Z(z) = \lambda e^{-\lambda\sqrt{z}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{z}}, \quad z>0
$$

步骤2：推导$X^2$的矩生成函数 #

根据矩生成函数的定义，$M_{X^2}(t) = E[e^{tX2}] = \int_{0}^{\infty} e^{tz} f_Z(z) dz$，将上面得到的$f_Z(z)$代入：
$$
M_{X^2}(t) = \int_{0}^{\infty} e^{tz} \cdot \frac{\lambda}{2\sqrt{z}} e^{-\lambda\sqrt{z}} dz
$$

步骤3：推导$Y^2$的概率密度与矩生成函数 #

用同样的方法处理$Y^2$：设$W = Y^2$，$Y$的指数分布密度为$f_Y(y) = 2\lambda e^{-2\lambda y} \ (y>0)$，变量替换后可得：
$$
f_W(w) = f_Y(\sqrt{w}) \left| \frac{dy}{dw} \right| = 2\lambda e^{-2\lambda\sqrt{w}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{w}} = \frac{\lambda}{\sqrt{w}} e^{-2\lambda\sqrt{w}}, \quad w>0
$$

对应的矩生成函数为：
$$
M_{Y^2}(t) = \int_{0}^{\infty} e^{tw} \cdot \frac{\lambda}{\sqrt{w}} e^{-2\lambda\sqrt{w}} dw
$$

步骤4：计算$X^2 + Y^2$的矩生成函数 #

因为$X$和$Y$相互独立，所以$X^2$与$Y2$也相互独立，根据独立随机变量和的矩生成函数性质，最终结果为两者矩生成函数的乘积：
$$
M_{X^2+Y2}(t) = M_{X^2}(t) \cdot M_{Y^2}(t)
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sergio.azevedo