证明验证：证明有限乘积空间的两种度量等价

云原生阿岚

2026-5-19

嘿，这个问题其实是等价度量的经典例子，核心就是抓住“拓扑由开球生成”这个核心——只要证明两种度量下的开球能互相嵌套，就能说明它们诱导的拓扑完全一致。我给你一步步拆解证明：

核心逻辑铺垫

两个度量$d$和$\bar{d}$诱导相同拓扑的充要条件是：对任意$x \in X$，任意$\epsilon > 0$：

存在$\delta_1 > 0$，使得$\bar{d}$下的开球$B_{\bar{d}}(x, \delta_1)$完全包含在$d$下的开球$B_d(x, \epsilon)$中；
存在$\delta_2 > 0$，使得$d$下的开球$B_d(x, \delta_2)$完全包含在$\bar{d}$下的开球$B_{\bar{d}}(x, \epsilon)$中。

这里我用$B_m(z, r)$表示度量$m$下以$z$为中心、$r$为半径的开球。

第一部分：证明$B_{\bar{d}}(x, \epsilon) \subseteq B_d(x, \epsilon)$

直接取$\delta_1 = \epsilon$就可以。假设$y = {y_i} \in B_{\bar{d}}(x, \epsilon)$，根据$\bar{d}$的定义：
$$\sum_{i=1}^n d_i(x_i, y_i) < \epsilon$$
对于每个$i$，显然单个距离$d_i(x_i, y_i)$不会超过所有距离的和，也就是$d_i(x_i, y_i) \leq \sum_{j=1}^n d_j(x_j, y_j)$，所以每个$d_i(x_i,y_i) < \epsilon$。那它们的最大值自然也小于$\epsilon$，也就是$d(x,y) = \max d_i(x_i,y_i) < \epsilon$，所以$y \in B_d(x, \epsilon)$。这就完成了第一个包含关系的证明。

第二部分：证明$B_d(x, \epsilon/n) \subseteq B_{\bar{d}}(x, \epsilon)$

这里一定要注意**$n$是有限数**这个关键前提（如果是无限乘积的话，这个结论就不成立了）。我们取$\delta_2 = \epsilon/n$。假设$y = {y_i} \in B_d(x, \delta_2)$，根据$d$的定义：
$$\max d_i(x_i, y_i) < \epsilon/n$$
既然每个$d_i(x_i,y_i)$都小于$\epsilon/n$，把它们加起来的总和就会小于$n \times (\epsilon/n) = \epsilon$，也就是：
$$\bar{d}(x,y) = \sum_{i=1}^n d_i(x_i,y_i) < \epsilon$$
所以$y \in B_{\bar{d}}(x, \epsilon)$，第二个包含关系也成立了。