已知四边形ABCD满足AB=BC=m，∠ABC=∠ADC=120°，求BD的长度

嘿，这个问题硬套余弦定理确实容易卡壳，换个旋转构造全等三角形的思路就通透多了，我一步步给你拆解：

步骤1：先搞定△ABC的基本性质 #

已知AB=BC=m，∠ABC=120°，这是个等腰三角形，先算AC的长度：
根据余弦定理：

AC² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos∠ABC

代入数值（cos120°=-1/2）：

AC² = m² + m² - 2·m·m·(-1/2) = 3m²

所以 AC = m√3

步骤2：旋转构造全等三角形 #

我们把△BCD绕点B逆时针旋转120°——因为AB=BC，旋转后BC会和AB完全重合，设旋转后点D的对应点为D'，此时：

• BD' = BD（旋转不改变线段长度）
• ∠DBD' = 120°（旋转角等于∠ABC）
• AD' = CD（旋转对应边相等）
• ∠BAD' = ∠BCD（旋转对应角相等）

步骤3：推导∠DAD'的度数 #

四边形内角和是360°，已知∠ABC=120°，∠ADC=120°，所以：

∠BAD + ∠BCD = 360° - 120° - 120° = 120°

结合旋转得到的∠BAD'=∠BCD，代入后可得：

∠BAD + ∠BAD' = 120° → ∠DAD' = 120°

步骤4：关联两个三角形的边长关系 #

先看△ADD'，用余弦定理算DD'：

DD'² = AD² + AD'² - 2·AD·AD'·cos∠DAD'

因为AD'=CD，cos120°=-1/2，代入后：

DD'² = AD² + CD² - 2·AD·CD·(-1/2) = AD² + CD² + AD·CD

再看△ADC，已知∠ADC=120°，AC=m√3，用余弦定理：

AC² = AD² + CD² - 2·AD·CD·cos∠ADC

代入数值：

(m√3)² = AD² + CD² - 2·AD·CD·(-1/2) → 3m² = AD² + CD² + AD·CD

对比上面两个式子，直接得出：

DD'² = 3m² → DD' = m√3

最后看等腰△DBD'（BD=BD'），顶角∠DBD'=120°，用余弦定理：

DD'² = BD² + BD'² - 2·BD·BD'·cos120°

设BD=x，代入得：

(m√3)² = x² + x² - 2·x·x·(-1/2) → 3m² = 3x² → x = m

所以最终线段BD的长度就是m。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者J. Abraham