元素生成域作为F-代数的定义及与代数元的等价性问询

嘿，我来帮你把这个绕人的域论概念彻底理清楚！

1. 「元素x生成域E作为F-代数」到底啥意思？ #

首先，域扩张$E/F$里，E本身就是一个F-代数——简单说就是E不仅有自己的加减乘，还能和F里的元素做数乘，完全符合代数的公理。

那“x生成E作为F-代数”，本质是说：E是包含F和x的最小F-子代数。放到具体元素上看，就是E里的每一个元素，都能写成「系数在F里的关于x的多项式」，用符号写就是：
$$E = { f(x) \mid f(t) \in F[t] }$$
这里的$F[t]$就是F上的一元多项式环，说白了就是所有“F里的数凑出来的x的多项式”都能覆盖E的全部元素。

2. 「x在F上是代数元」的定义（这个你可能熟，但还是明确下） #

x是F上的代数元，当且仅当存在一个非零的多项式$f(t) \in F[t]$，让$f(x)=0$。换句话说，x不是“天马行空”的，它满足F上的某个代数方程（比如$\sqrt{2}$在$\mathbb{Q}$上满足$t^2-2=0$，就是代数元）。

你困惑的等价性，核心是E是域这个大背景——如果没有这个前提，比如E只是个环，那两者不等价，但E是域的话，就完全等价了，我们分两个方向说：

方向1：如果x是F上的代数元，那么E=F(x)（作为域扩张的最小子域）就是由x生成的F-代数 #

假设x是代数元，那它在F上有个极小多项式$m(t)$——就是首一、不可约、次数最低的满足$m(x)=0$的多项式。这时候，多项式环$F[t]$模掉$(m(t))$这个理想，得到的$F[t]/(m(t))$是个域（因为不可约多项式生成的是极大理想，模极大理想得域）。

而映射$\phi: F[t] \to E$，把$f(t)$映射成$f(x)$，它的核正好是$(m(t))$，所以像集就是$F[t]/(m(t))$——这个像集既是包含F和x的最小域（也就是域扩张里的$F(x)$），同时又是所有F系数的x的多项式（也就是作为F-代数由x生成的集合），所以此时E就是由x生成的F-代数。

方向2：如果E作为F-代数由x生成，且E是域，那x一定是F上的代数元 #

既然E是域，那只要x≠0，$1/x$肯定在E里。但E作为F-代数由x生成，意味着$1/x$必须能写成某个F系数的多项式$g(x)$，也就是：
$$1/x = g(x)$$
两边乘x就得到$1 = x \cdot g(x)$，整理一下就是$x \cdot g(x) - 1 = 0$——这说明x满足F上的非零多项式$t \cdot g(t) - 1$，所以x是代数元。

反过来想，如果x是超越元（比如$\pi$在$\mathbb{Q}$上），那由x生成的F-代数是多项式环$F[t]$，这玩意儿不是域（因为没有逆元，比如1/x不在里面），而域扩张里的$F(x)$是它的分式域，比多项式环大，这时候就不能说E作为F-代数由x生成了。

你提到的命题26说“设E/F为域扩张，若存在x∈E使得E=F(x)”，这里的$F(x)$在域扩张里默认是「包含F和x的最小子域」。根据上面的等价性，当且仅当x是F上的代数元时，这个最小子域正好等于由x生成的F-代数（所有F系数的x的多项式）；如果x是超越元，$F(x)$是分式域，就没法用“作为F-代数由x生成”来描述了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Daven