求助：已知a、b、c、u，求解非直角三角形中的x、y分量

嘿，我来帮你搞定这个问题！针对这种已知三边长度、还有一条既不平分角也不平分对边的线段u的非直角三角形，咱们可以用坐标系建模+基础几何公式的组合来推导x和y分量，具体步骤非常清晰：

第一步：搭个方便计算的坐标系 #

首先咱们给三角形找个“舒服”的坐标系，把长度为c的边直接放在x轴上：

• 设这条边的一个端点为原点 ( O(0,0) )，另一个端点为 ( B(c,0) )
• 第三个顶点咱们叫它 ( A )，现在要算出它的坐标( (x_A, y_A) )：
  1. 先用余弦定理算角( \angle AOB )的余弦值：( \cos\theta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} )（这里要明确：边a是顶点A的对边，也就是OB的对边；边b是顶点B的对边，也就是OA的对边）
  2. 顶点A的x坐标就是 ( b \times \cos\theta )，y坐标可以用勾股定理算：( y_A = \sqrt{b^2 - x_A^2} )，或者用海伦公式算面积再反推：先算半周长( s = \frac{a+b+c}{2} )，面积( \Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} )，那( y_A = \frac{2\Delta}{c} )（因为三角形面积也等于( \frac{1}{2} \times c \times y_A )）

第二步：明确线段u的位置 #

假设线段u是连接顶点A到边OB（也就是x轴上的那条边）上的某点D（你可以根据实际图形调整端点，方法是通用的），已知u的长度，咱们设点D的坐标为( (d, 0) )。

第三步：解方程找到点D的坐标 #

根据两点间距离公式，AD的长度等于u，所以可以列出方程：

(x_A - d)^2 + (y_A - 0)^2 = u^2

把第一步算出的( x_A )和( y_A )代入这个方程，解这个一元二次方程就能得到d的值——因为题目说u不平分边，所以会有唯一符合要求的解（直接排除掉平分的那个根就行）。

第四步：算出x和y分量 #

得到点D的坐标后，线段u的分量就很容易算了：

• x分量：如果是从A指向D，那就是( d - x_A )；如果是从D指向A，就是( x_A - d )
• y分量：同理，从A指向D是( 0 - y_A )，从D指向A是( y_A - 0 )
  要是你需要的是分量的长度，直接取绝对值就好。

额外提示 #

如果线段u不是连接顶点到对边，而是三角形内部任意两个点，思路也一样：先把所有已知顶点的坐标算出来，再根据u的长度列出距离方程，解出未知点的坐标，最后就能算出分量了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者adl