关于f(z)极点零点及哈达玛-德拉瓦莱普桑定理中极限结论的来源问询

嘿，这个基本结论其实是复分析里针对零点、极点和正则解析点的核心极限性质，咱们分三种情况逐一拆解推导，就能明白它的来源啦！

1. 当z=a是f(z)的m阶零点（m≥1） #

根据m阶零点的定义，f(z)可以在a的邻域内表示为：
$$f(z) = (z-a)^m g(z)$$
其中g(z)在z=a处解析，且g(a)≠0（保证g(z)在a的小邻域内不会为0，避免出现额外零点）。

对f(z)求导：
$$f'(z) = m(z-a)^{m-1}g(z) + (z-a)^m g'(z)$$

将f(z)和f'(z)代入目标极限式：
$$\frac{(z-a)f'(z)}{f(z)} = \frac{(z-a)\left[m(z-a)^{m-1}g(z) + (z-a)^m g'(z)\right]}{(z-a)^m g(z)}$$

化简后得到：
$$\frac{(z-a)f'(z)}{f(z)} = m + (z-a)\frac{g'(z)}{g(z)}$$

当z→a时，$(z-a)\frac{g'(z)}{g(z)}$趋近于0（因为g(z)在a处解析且g(a)≠0，所以g'(z)/g(z)在a的邻域内有界，乘以趋近于0的(z-a)后极限为0），因此：
$$\lim\limits_{z\rightarrow a} \frac{(z-a)f'(z)}{f(z)} = m$$

2. 当z=a是f(z)的m阶极点（m≥1） #

对于m阶极点，f(z)可以表示为：
$$f(z) = \frac{h(z)}{(z-a)^m}$$
其中h(z)在z=a处解析，且h(a)≠0（h(z)在a的邻域内无零点）。

对f(z)求导：
$$f'(z) = \frac{h'(z)(z-a)^m - m(z-a)^{{m-1}h(z)}{(z-a)}{2m}} = \frac{h'(z)(z-a) - m h(z)}{(z-a)^{m+1}}$$

代入目标极限式：
$$\frac{(z-a)f'(z)}{f(z)} = \frac{(z-a) \cdot \frac{h'(z)(z-a) - m h(z)}{(z-a)^{{m+1}}}{\frac{h(z)}{(z-a)}m}}$$

化简后得到：
$$\frac{(z-a)f'(z)}{f(z)} = \frac{h'(z)(z-a) - m h(z)}{h(z)} = (z-a)\frac{h'(z)}{h(z)} - m$$

当z→a时，$(z-a)\frac{h'(z)}{h(z)}$趋近于0（理由和零点情况类似，h(z)在a处解析且h(a)≠0，h'(z)/h(z)有界），因此：
$$\lim\limits_{z\rightarrow a} \frac{(z-a)f'(z)}{f(z)} = -m$$

3. 当f(z)在z=a处解析且f(a)≠0 #

因为f(z)在a处解析，所以它在a的邻域内可以展开为泰勒级数：
$$f(z) = f(a) + f'(a)(z-a) + \frac{f''(a)}{2!}(z-a)^2 + \dots$$
又因为f(a)≠0，所以f(z)在a的小邻域内不会为0（解析函数零点孤立性），因此f'(z)/f(z)在该邻域内连续且有界。

目标极限式为：
$$\lim\limits_{z\rightarrow a} \frac{(z-a)f'(z)}{f(z)} = \lim\limits_{z\rightarrow a} (z-a) \cdot \frac{f'(z)}{f(z)}$$

其中$(z-a)$当z→a时趋近于0，而$\frac{f'(z)}{f(z)}$是有界量，根据"无穷小乘以有界量仍为无穷小"，极限为0：
$$\lim\limits_{z\rightarrow a} \frac{(z-a)f'(z)}{f(z)} = 0$$

这个结论本质上是对数导数的极限性质（因为$\frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{d}{dz} \ln f(z)$），在复分析里常用于快速判断解析函数在某点的零点/极点阶数，也是很多定理（比如你提到的哈达玛-德拉瓦莱普桑定理）证明的基础工具哦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Scavenger23