为何维基百科的黎曼积分定义未明确要求网格细化？

这个问题问得特别到位！其实核心是要理清黎曼积分两种等价定义的逻辑差异，以及「划分加细」和「网格大小」之间的内在关系。

先明确两个关键概念 #

• 划分的加细：一个划分是另一个划分的加细，指的是它包含原划分的所有分点——也就是说，你可以在原划分的区间里插入新的分点，但不能删除原有的分点。正如你所说，加细完全可以保持某一个区间的宽度不变，只拆分其他区间，这时候整个划分的网格（最大区间宽度）可能和原划分一样。
• 黎曼积分的加细版本定义：对于任意$\varepsilon > 0$，存在一个带标记划分$y_0, ..., y_m$（对应标记点$r_0, ..., r_{m-1}$），使得所有作为这个基准划分的加细的带标记划分$x_0, ..., x_n$（标记点$t_0, ..., t_{n-1}$），其黎曼和与积分值的差的绝对值都小于$\varepsilon$。

为什么不需要明确要求网格变小？ #

原因很简单：所有原划分的加细，其网格必然不会超过原划分的网格。
因为加细只是在原区间内部插入分点，拆分出来的子区间宽度一定≤原区间的宽度，所以整个划分的最大区间宽度（网格）只会变小或者保持不变，绝对不会变大。

这就意味着，当我们找到那个满足条件的基准划分时，所有它的加细划分，其实已经自动满足了「网格不超过基准划分的网格」这个隐含条件——相当于间接限定了网格的上限。

额外补充：两种定义的等价性 #

你可能会好奇，这个「加细版本」的定义和我们常看到的「网格足够小」的定义（即存在$\delta > 0$，所有网格小于$\delta$的带标记划分的黎曼和都满足误差要求）是完全等价的：

• 如果「加细版本」成立，取基准划分的网格为$\delta$，那么任何网格≤$\delta$的划分，都可以通过和基准划分取公共加细（同时包含两者的所有分点），而公共加细属于基准划分的加细，因此满足误差要求，进而可以推导出原划分的黎曼和也满足要求。
• 如果「网格足够小」的定义成立，那么取任意一个网格小于$\delta$的划分作为基准，所有它的加细划分的网格也必然≤$\delta$，自然满足误差要求。

维基百科选择「加细版本」的定义，其实是因为它更直观地体现了「划分包含的分点越多，黎曼和越接近积分值」的直觉，不需要额外引入「网格大小」这个度量概念。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者LearningMath