计算由抛物面与平面界定的空间区域R的体积

没问题，咱们一步步拆解这个问题来计算体积：

第一步：明确区域边界 #

这个区域R由以下几个曲面围成：

• 下方边界：抛物面 $z=3x^2$
• 上方边界：平面 $z=3$
• y方向的两侧边界：平面 $y=-z$ 和 $y=z$
• x的范围可以通过 $3x^2 \leq 3$ 推导出来，也就是 $-1 \leq x \leq 1$

第二步：建立体积的三重积分 #

体积本质就是对区域R积分常数1，我们选择先对y积分，再对z积分，最后对x积分的顺序，对应的积分限如下：
$$\text{Volume}(R) = \int_{x=-1}^{1} \int_{z=3x^2}{3} \int_{y=-z}^{z} 1 , dy , dz , dx$$

第三步：逐层计算积分 #

1. 最内层对y的积分：
   对y积分时，z看作常数，直接计算上下限差值：
   $$\int_{y=-z}^{z} 1 , dy = z - (-z) = 2z$$

2. 中间层对z的积分：
   把内层结果代入，计算对z的定积分：
   $$\int_{z=3x^2}{3} 2z , dz = \left[ z^2 \right]_{3x^2}{3} = 3^2 - (3x²⁾2 = 9 - 9x^4$$

3. 最外层对x的积分：
   这里被积函数 $9-9x^4$ 是偶函数，利用对称性简化计算（把-1到1的积分变成2倍0到1的积分）：
   $$\int_{x=-1}^{1} (9 - 9x^4) , dx = 2 \int_{0}^{1} (9 - 9x^4) , dx$$
   计算原函数并代入上下限：
   $$2 \left[ 9x - \frac{9}{5}x^5 \right]_0^1 = 2 \times \left(9 - \frac{9}{5}\right) = 2 \times \frac{36}{5} = \frac{72}{5} = 14.4$$

最终结果 #

区域R的体积是 $\boldsymbol{\frac{72}{5}}$（或者写成小数14.4）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Parseval