正实数子集上确界等价性证明求助：supA'=supA⇔infA=0

已知前提：$A \subseteq \mathbb{R^+}$，$A' = {|x-y| \mid x,y \in A, x \ne y}$，$\sup A$有限，且$\inf A$存在（因为$A$下有界于0），已证$\sup A' \le \sup A$。下面分两个方向完成等价性证明：

必要性：若$\sup A' = \sup A$，则$\inf A = 0$ #

我们用反证法来推导：假设$\inf A = c > 0$（因为$\inf A$存在且$A \subseteq \mathbb{R^+}$，所以$c \ge 0$，这里假设$c>0$）。

对于任意$x,y \in A$且$x \ne y$，有：

• 若$x > y$，则$x - y \le \sup A - y \le \sup A - c$（因为$y \ge \inf A = c$）
• 若$y > x$，则$y - x \le \sup A - x \le \sup A - c$（同理$x \ge c$）

因此，所有$A'$中的元素都满足$|x-y| \le \sup A - c$，而$c>0$，所以$\sup A - c < \sup A$，这就意味着$\sup A' \le \sup A - c < \sup A$，与题设$\sup A' = \sup A$矛盾。

由此可知假设不成立，故$\inf A = 0$。

充分性：若$\inf A = 0$，则$\sup A' = \sup A$ #

我们利用上确界的定义来证明：要证$\sup A' = \sup A$，结合已知的$\sup A' \le \sup A$，只需证明对于任意$\epsilon > 0$，存在$a,b \in A$且$a \ne b$，使得$|a - b| > \sup A - \epsilon$。

因为$\inf A = 0$，根据下确界的定义，对于$\epsilon/2 > 0$，存在$b \in A$，使得$0 < b < \epsilon/2$。

同时，$\sup A$是$A$的上确界，对于$\epsilon/2 > 0$，存在$a \in A$，使得$\sup A - \epsilon/2 < a \le \sup A$。

此时，$a - b > (\sup A - \epsilon/2) - \epsilon/2 = \sup A - \epsilon$，且$a > b$（取$\epsilon < 2\sup A$，则$a > \sup A - \epsilon/2 > 0$，而$b < \epsilon/2 < \sup A \le a$），所以$|a - b| = a - b > \sup A - \epsilon$，且这个差值属于$A'$。

这说明$\sup A'$不能小于$\sup A$（否则会存在$\epsilon$使得所有$A'$元素都$\le \sup A - \epsilon$，与上述结论矛盾），结合已知的$\sup A' \le \sup A$，可得$\sup A' = \sup A$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Omrane