秘书随机将9封信装入9个信封，求匹配数X的E(X)与Var(X)

嘿，这个问题用指示随机变量来解简直是绝配，比硬算X的概率分布轻松太多了！我给你一步步拆解：

一、计算期望E(X) #

我们先定义指示随机变量：对每一封信i（i从1到9），设

• ( X_i = 1 )，如果第i封信装入了正确的信封
• ( X_i = 0 )，否则

那么总匹配数 ( X = X_1 + X_2 + \dots + X_9 )。

接下来计算单个指示变量的期望：
对于任意i，第i封信装对的概率是 ( \frac{1}{9} )，所以 ( E(X_i) = P(X_i=1) = \frac{1}{9} )。

利用期望的线性性（划重点：这个性质不需要变量之间独立，超级好用！），总期望为：
[
E(X) = E(X_1 + X_2 + \dots + X_9) = E(X_1) + E(X_2) + \dots + E(X_9) = 9 \times \frac{1}{9} = 1
]

二、计算方差Var(X) #

方差的计算需要用到方差的分解公式：
[
\text{Var}(X) = \text{Var}\left(\sum_{i=1}^9 X_i\right) = \sum_{i=1}^9 \text{Var}(X_i) + 2\sum_{1 \leq i < j \leq 9} \text{Cov}(X_i, X_j)
]

我们分两部分计算：

1. 计算单个Var(X_i) #

因为( X_i )是伯努利变量，方差公式为 ( \text{Var}(X_i) = p(1-p) )，其中p=1/9，所以：
[
\text{Var}(X_i) = \frac{1}{9} \times \left(1 - \frac{1}{9}\right) = \frac{8}{81}
]
9个这样的方差之和为：
[
\sum_{i=1}^9 \text{Var}(X_i) = 9 \times \frac{8}{81} = \frac{8}{9}
]

2. 计算协方差Cov(X_i,X_j) #

协方差的公式是 ( \text{Cov}(X_i,X_j) = E(X_iX_j) - E(X_i)E(X_j) )。

• ( X_iX_j = 1 )当且仅当第i和第j封信都装对，这个概率是 ( \frac{1}{9 \times 8} = \frac{1}{72} )（先装对i的概率1/9，再装对j的概率1/8，顺序不影响结果），所以 ( E(X_iX_j) = \frac{1}{72} )。
• ( E(X_i)E(X_j) = \left(\frac{1}{9}\right)^2 = \frac{1}{81} )。

代入协方差公式：
[
\text{Cov}(X_i,X_j) = \frac{1}{72} - \frac{1}{81} = \frac{9 - 8}{648} = \frac{1}{648}
]

接下来计算所有i<j的协方差之和：
从9个变量中选2个的组合数是 ( \binom{9}{2} = 36 )，所以：
[
2\sum_{1 \leq i < j \leq 9} \text{Cov}(X_i,X_j) = 2 \times 36 \times \frac{1}{648} = \frac{72}{648} = \frac{1}{9}
]

3. 总方差 #

把两部分加起来：
[
\text{Var}(X) = \frac{8}{9} + \frac{1}{9} = 1
]

额外小结论 #

其实不管是n封信还是9封信，用同样的方法可以得出：

• 期望 ( E(X) = 1 )
• 方差 ( \text{Var}(X) = 1 )
  是不是很有意思？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Liviu