求证偶数N下的余弦平方和等式：2∑cos²(kπ/(N+1))=N-1

嘿，我来帮你拆解这个三角函数等式的证明思路，其实用几个基础的三角恒等式和求和技巧就能轻松搞定，一步步来：

1. 先用二倍角公式降幂简化 #

首先回忆核心的二倍角降幂公式：cos²θ = (1 + cos2θ)/2，把左边的求和式代入替换：
$$
2\sum_{k=1}^{N}\cos2\big(\frac{k\pi}{N+1}\big) = 2\sum_{k=1}^{N}\frac{1 + \cos\left(\frac{2k\pi}{N+1}\right)}{2}
$$
这里的2和分母的2直接约掉，式子就拆成两个独立的求和项：
$$
\sum_{k=1}^{N}1 + \sum_{k=1}^{N}\cos\left(\frac{2k\pi}{N+1}\right)
$$

2. 计算第一个简单求和项 #

第一个求和式$\sum_{k=1}^{N}1$就是N个1相加，结果直接是N，没什么难度。

3. 重点处理余弦求和项 #

现在关键是计算$S = \sum_{k=1}^{N}\cos\left(\frac{2k\pi}{N+1}\right)$，这里给你两种常用方法：

方法一：利用复数等比数列求和 #

我们知道$\cosθ = \text{Re}(e^{{iθ})$（实部），所以S其实是等比数列$\sum_{k=1}}{N}e^{i\cdot\frac{2k\pi}{N+1}}$的实部。
这个等比数列的首项$a = e^{i\cdot\frac{2\pi}{N+1}}$，公比$r = e^{i\cdot\frac{2\pi}{N+1}}$，共N项。
用等比数列求和公式：
$$
\text{和} = a\cdot\frac{r^N - 1}{r - 1}
$$
注意到$r^{N+1} = e^{i\cdot\frac{2\pi(N+1)}{N+1}} = e^{i2\pi} = 1$，所以$r^N = \frac{1}{r}$。代入后分子变成：
$$
e^{i\cdot\frac{2\pi}{N+1}} \cdot \left(\frac{1}{r} - 1\right) = 1 - e^{i\cdot\frac{2\pi}{N+1}}
$$
整个求和式就变成：
$$
\frac{1 - e^{{i\cdot\frac{2\pi}{N+1}}}{e}{i\cdot\frac{2\pi}{N+1}} - 1} = -1
$$
它的实部就是-1，所以$S = -1$。

方法二：用三角求和公式直接计算 #

直接套用余弦求和公式：
$$
\sum_{k=1}^{n}\cos(kα) = \frac{\sin\left(\frac{nα}{2}\right)\cos\left(\frac{(n+1)α}{2}\right)}{\sin\left(\frac{α}{2}\right)}
$$
这里令$n=N$，$α=\frac{2\pi}{N+1}$，代入后：

• 分子：$\sin\left(\frac{N\cdot\frac{2\pi}{N+1}}{2}\right)\cos\left(\frac{(N+1)\cdot\frac{2\pi}{N+1}}{2}\right) = \sin\left(\frac{N\pi}{N+1}\right)\cos(\pi)$
  其中$\cos(\pi)=-1$，$\sin\left(\frac{N\pi}{N+1}\right)=\sin\left(\pi - \frac{\pi}{N+1}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{N+1}\right)$
• 分母：$\sin\left(\frac{\frac{2\pi}{N+1}}{2}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{N+1}\right)$

分子分母的$\sin\left(\frac{\pi}{N+1}\right)$约掉，结果就是$-1$，同样得到$S=-1$。

4. 合并结果完成证明 #

把两个求和项的结果加起来：
$$
N + (-1) = N-1
$$
正好等于等式右边，所以原等式得证。

小补充：其实题目里说N是偶数的条件是多余的，这个等式对任意正整数N都成立哦，证明过程完全不依赖N的奇偶性~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user123